Квантові осциляції
Транскрипт
1 Конспект лекції для аспірантів Інституту фізики ім. Л.В.Кіренського ЗІ РАН Квантові осциляції (ефект де Гааза – ван Альфена) Дзебісашвілі Д.М. План лекції: 1) Ефект де Гааза ван Альфена. ) Квазикласична динаміка електрона в магнітному полі з довільним (k). 3) Квазикласичне квантування руху електрона в магнітному полі з довільним (k). 4) Квантування Ландау. 5) Формула Ліфшиця-Косевича Косевича.
2 1 Ефект де Гааза ван Альфена Осциляційна залежність намагніченості (сприйнятливості) металу від магнітного поля Діамагнетизм електронного газу L. Landau, Z. Phys, 64, 69 (193) χ Слабі магнітні поля. µ H k T 1 = χ 3 пари Що станеться у сильному магнітному полі? Теорія µ H k T? Експеримент de Haas WJ, van Alphen P.M. Pro. Нідерланди Roy. Aad. Ai. 33, 116 (193) Перше спостереження ефекту ДГВ на монокристалі вісмуту Ландау Л.Д., Ліфшиц Є.М. Т.V, Статистична фізика. Ч 1, 59,6 (1) Із книги: Д. Шенберг. Магнітні осциляції у металах. М: Мир, (1986)
3 Динаміка електрона з довільним законом дисперсії у магнітному полі (квазікласичний розгляд) H - не квадратичний k = p m e
4 Динаміка електрона з довільним законом дисперсії в магнітному полі (квазікласичний розгляд) Основні рівняння квазікласичного підходу: ? 1 ? = onst k k z k k Траєкторія в k-просторі H V k ɺ Магнітне поле не здійснює роботи енергія зберігається e ħ(k k) = ( R R ) H R - радіус вектор класичної траєкторії η k k = R R η = ħ / eh, R H
5 Динаміка електрона в магнітному полі k траєкторія da H dk k k n ( da) R траєкторія повернена на dθ Площа a θ 1) ) 9 η = ħ eh dr Час руху по елементу dk ħ ħ k ndk ħ ( da) ħ ( da) dt = dk = dk = = = e eh eh eh k H eh k n k -проекція хвильового вектора вздовж магнітного поля k
6 , k Циклотронна частота a) R ω C -монотонно зростає Динаміка електрона в магнітному полі π eh = a ħ k Крок гвинтової лінії ħ a P = eh k,k + dk, k a 1 b) Зміщення електрона вздовж поля Vdt = dt = dt = k k k k k ( da) = ( da ) = = eh k k eh k a 1,k + dk A da ( da) k Площа нижньої частини зменшується швидше, ніж збільшується площа верхньої a a a k 1 eh R a A da a (, k ) = a) b) k a / k a = t
7 Для ефекту дгва цікаві «екстремальні» орбіти Динаміка електрона в магнітному полі a k = Для таких орбіт: P = R - може осцилювати Хоча проекція орбіти в R-просторі на нормальну до Н площину має ту саму форму, що й орбіта в k-просторі сама орбіта в R-просторі може не лежати в нормальній до H площині. H k z V A k y A K Циліндрична поверхня Ферми C V Вигляд збоку з перспективою CuO V A C -площина A кругова траєкторія η K tanθ k x A траєкторія в k-просторі K D K k x θ / osθ k y C H Вид зверху V A η K osθ A C η K V D траєкторія просторі
8 Приклад: газ електронів у магнітному полі Закон дисперсії вільних електронів: ħ k ħ = = + m m Орбіти в k-просторі кола площі: ( k k ) a = π k у R-просторі кола, радіуса: = = ħ / R ηk k eh Для вільних електронів: V = kk / m R = m V eh / (a, k ) a = + k m π π m a = π k ħ ω C π eh π eh eh = = = a a m = π k Визначення циклотронної маси для довільного закону дисперсії
9 Приклад: газ електронів у магнітному полі Оскільки: dr ħ ( da) = eh k то у всіх точках траєкторії екстремальної орбіти (тобто при k ), траєкторія електрона = у R-просторі перпендикулярна H. k = k F V k Якщо , то електрон рухається по гвинтовій лінії з кроком: ?В ефекті ДГВ, як і в термодинаміці і кінетиці, головну роль відіграють електрони в околиці поверхні Фермі. Для металів: kf F =
1 8 ( ев) m kf см 8 1
10 3 Квазикласичне квантування руху електрона в магнітному полі Умова квантування 1 Згідно з Планком енергія осцилятора квантується: p m ω q m + = ω S = π n γ = Савельєв І.В. Курс загальної фізики. Т.3, 16 Бора-Зоммерфельда: n З рівнянь руху: e = α dqp = (n + γ ) π ħ У квазікласичному наближенні для параболічної зони: де b = onst dr (R H + A) π ħ (n + γ) ( ) πħ Φ Hα = (n + γ) e R - площа - орбіти в реальному просторі γ = 1 / Ландау Л.Д., Ліфшиц Е. М. Т.III, Квантова механіка 48 Для електрона в магнітному полі можна вибрати: d = ? ,
11 Квазикласичне квантування руху електрона в магнітному полі Оскільки: α = ( ħ / ) eh a Співвідношення Онзагера π eh a(, k) = ( n + γ ) ħ Задає дозволені рівні енергії залежно від H, n, a, ( k ) Умова квантування площі орбіти у k-просторі H, n, k. З знаючи закон дисперсії для кожного знаходимо k. H k z k y Величина n залежить від магнітного поля та для металів n
При H = число станів в одиниці об'єму k-простору: Площа кільця: 3 = V / 4π a = πeh / ħ dk Щільність станів на довжину однієї трубки дорівнює: g a dk V VeH dk = = 4π π ħ 3 3
12 Приклад: газ вільних електрона в магнітному полі Для газу вільних електронів співвідношення Онзагера дає: H k z F k (a, k) = + (n + g) μ H m ) γ = 1 / 1 k k = n + µ H k x k y y Трубки Ландау коаксіальні кругові циліндри, з площею між кільцями: a = πeh / º залежної від поля H Показані тількизайняті стани під поверхнею Фермі
13 4 Квантування Ландау. Квантовий осцилятор ψ n Гамільтоніан квантового осцилятора: Рівняння Шредінгера для квантового осцилятора: Ландау Л.Д., Ліфшиц О.М. т.iii, Квантова механіка 3 Спектр: 1/4 1 En = n + ω ħ Власні функції: H m m 1 m ω = e Поліноми Чебишева - Ерміта : mω x pˆ mω x = + m ħ d mω x ψ + = m dx n n ξ d Hn ( ξ ) = ( 1 ) e e n dξ ( ξ ) U ( x ) = E ? E E E 1 x Тихонов О.М. Самарський А.А., Рівняння математичної фізики, (1966)
14 Електрон в однорідному магнітному полі Гамільтоніан електрона в магнітному полі: Підстановка e pˆ pˆ A Пайєрлса: Оператор швидкості: ˆ 1 e H = pˆ A V, V = ieħ H, V, V = ieħ H, [V, V] = ieħ H x y z y x x x m m m Тут e I agree.