Лекції - Числові ряди
Пропонуємо нашим відвідувачам скористатися безкоштовним програмним забезпеченням «StudentHelp», яке дозволить вам лише за кілька хвилин виконати підвищення оригінальності будь-якого файлу у форматі MS Word. Після такого підвищення оригінальності ваша робота легко пройдете перевірку в системах антиплагіат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Програма «StudentHelp» працює за унікальною технологією так, що на зовнішній вигляд файл з підвищеною оригінальністю не відрізняється від вихідного.
Результат пошуку
-
Визначення числового ряду
Геометрична послідовність ,це , q-це знаменник.
Зворотне завдання по кількох членам ряду:
; Важливу роль теорії рядів є питання збіжності рядів.
Збіжність числового ряду.Якщо ряд сходиться, то суму можна знайти, якщо розходиться, то неможливо.позначимо суму ряду, яка має один доданок:цесума, що складається з перших двох доданків :це сума ряду , що складається з перших трьох доданків :це сума, що складається з перших n-складових ^Така сума називається n-ою частковою сумою рядапослідовність часткових сум;n-а часткова сума - це сума перших n доданків.Опр:Якщо послідовність часткових сум ряду - має кінцеву межу (S) ,при n , то ряд називається схожим , а число S - називається сумою ряду
Межа при , дорівнює SКажуть: сума ряду є межа його приватних сум.Опр:Якщо послідовність часткових сум ряду не має межі або він дорівнює нескінченності (необмежено зростає) ,то ряд називається розбіжним і суми не має.Теорема: необхідно і достатньо щоб послідовність його приватних сум була обмеженою. Ряд може розходитися і не має суми у двох випадках:необмежена.вагається,не має постійної величини.
-
Якщо ряд (1) сходиться ,то різниця між його сумою S і частковою сумою дорівнює , тобто де - це n-ий залишок ряду, тобто
-
- це та похибка ,яка вийде , якщо як наближеного значення суми ряду S взяти суму перших n доданків .
Тому взявши досить велике число членів ряду, що сходить, можна суму цього ряду знайти з великим ступенем точності ;звідси ясно, що основним завданням теорії рядів є дослідження ряду на збіжність, а знаходження суми ряду - це другорядне завдання>Приклад:Дослідити ряд на збіжність:
-
2+17-302,2-168-201,8+360,1-… ніряду2+5+8+11+14…-є закономірність, це послідовність, отже ряд
-
…(3n-1)+…=
(ряд розходиться)
-
0+0+0+… - це ряд і він сходиться1+1+1+1… - розходиться, дорівнює нескінченності.1- 1+1-1+1-… - розходиться, межу знайти неможливо
-
2. Геометрична прогресія
-
Опр :
-
Геометрична прогресія () ,Називається така послідовність чисел, кожен член якої починаючи з другого дорівнює попередньому помноженому на одне і те ж число, яке називається знаменником геометричної прогресії ;
-
Нехай ряд складається з членів нескінченної геометричної прогресії,
-
Позначимо a - перший член ряду, q - знаменник,
-
a+aq+a+a+…+a+a+…= (геометричний ряд)
-
Досліджуємо геометричний ряд на збіжність:
-
Тоді n-перших членів буде мати вигляд
Формула суми n-1,Знайдемо межу цієї часткової суми:
-
, то значить - розходиться і його сума S=, то , значить ряд розходиться і суму ряду знайти неможливо, якщо q=1 і q =-1
-
Якщо q=1 ,то ряд набуде вигляду :
-
a+a+a… ,а його часткова сума
-
Якщо q=1 , то ряд має вигляд :
-
a-a+a-a+… , яке часткова сума , при n – парна , ,при n – непарному.
-
ряд розходиться, суму ряду знайти неможливо.
-
Висновок: ряд, складений з членів нескінченної геометричної прогресії сходиться, коли абсолютна величина знаменника менше 1.
, приПриклад:Дослідити ряд на збіжність і знайти суму рядів:
-
Рішення:
-
Ряд складений із членів нескінченної геометричної прогресії ,де, q=.
-
Значить ряд сходиться та його сума дорівнює S=(сходиться)
-
Рішення:
-
Відповідь: ряд сходиться…
-
Властивості збіжності рядів
-
Зміна кінцевого числа членів рядів (приписування або відкидання) їх не змінює збіжності або розбіжності ряду, то ряд, отриманий шляхом відкидання або приписування кінцевого числа членів, не змінюється.
-
Сходимість ряду не порушується, якщо всі його члени помножити на одне і те ж число k, і виконаються рівність, якщо сума ряду дорівнює S.
-
Слідство:
-
Загальний множник ряду можна винести за знак суми.
-
Якщо два ряди сходяться і їх суми рівні відповідно, то і ряд отриманий додаванням відповідних доданків цих рядів, теж сходиться і його сума дорівнює
-
Знаходження суми ряду в такий спосіб:
Приклад: Довести збіжність ряду:
Слідуючи теорії, знайдемо межу n-ого клена ряду, при
Слідство, (достатня умова розбіжності ряду)
Якщо межа загального клена ряду не дорівнює нулю,або ця межа існує, то ряд розходиться.
Довести збіжність ряду:
1.4. Гармонійний ряд
Висловлює необхідність ,але недостатнє умова збіжності ряду .
Прикладом служить гармонійний ряд (8)
Ряд (8) називаєтьсягармонійним , т.к кожен його член .починаючи з другого , є середнє гармонійних двох сусідніх членів.
Число з називається середнім гармонічним чисел a і b якщо виконується нерівність:
1.5. Достатні ознаки збіжності позитивних рядів
Ряд називається позитивним, якщо всі його члени, його позитивні члени.
Теорема 2: перша ознака порівняння)
Нехай дані два ряди з позитивними членами(1)і(2), причому члени ряду (1) не перевищують членів ряду (2), тобто починаючи з деякого номера n, (n),
Тоді:
-
Якщо сходиться ряд (2) .то буде сходиться і ряд (1)Якщо розходиться ряд (1) , то розходиться і ряд (2)
-
Як правило, при доказі збіжності ряду. за допомогою теореми (2), використовують «еталонні ряди» для порівняння їх з тими, які треба досліджувати на збіжність.
-
Серед еталонних рядів можна назвати:
-
Геометричний ряд:
-
сходиться.розходиться.
-
Гармонічний ряд:
-
Узагальнений гармонійний ряд:
-
ряд розходиться.ряд сходиться.
-
Приклад:
-
сходиться,т.к
-
розходиться,т.к
-
Перетворити даний ряд ,застосовуючи властивості рядів .щоб можна було підібрати до нього відповідний «еталонний ряд»Вибрати відповідний «еталонний ряд»Довести нерівністьЗробити висновок відповідно до теореми(2)