Лекції - Лотов. В.І. Лекції з теорії ймовірностей
Міністерство освіти і науки України Новосибірський державний університет
ЛЕКЦІЇ ПО ТЕОРІЇ ймовірності
Навчальний посібник для студентів механіко-математичного факультету НГУ
1. Імовірнісні простори. Основні формули
Імовірнісний простір загального вигляду. . . . . . . . . . . . . . . . .
Формула для ймовірності об'єднання подій. . . . . . . . . . . . .
1.5. Незалежні події. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Схема Бернуллі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Наближення Пуассона у схемі Бернуллі. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8. Локальна гранична теорема про нормальне наближення. . . . . . . 23
1.9. Поліноміальний розподіл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10. Умовні ймовірності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11. Формула повної ймовірності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12. Формула Байєса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Випадкові величини. Функції розподілу. . . . . . . . . . . . . .
Незалежність випадкових величин та класів подій. . . . . . . . . .
Багатомірні розподіли та щільності. . . . . . . . . . . . . . . . .
Перетворення випадкових величин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Числові характеристики розподілів
3.1. Інтеграл імовірнісною мірою. Математичне очікування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. Багатовимірний випадок: математичне очікування та матриця підступів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.6. Багатовимірний нормальний розподіл. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7. Математичне очікування суми випадкового числа доданків. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8. Умовне математичне очікування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Завдання про найкраще наближення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Збіжність випадкових величин та розподілів.
Збіжність послідовностей випадкових величин. . . . . . . . . .
Про збіжність математичних очікувань. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Слабка збіжність розподілів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5. Характеристичні функції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Центральна гранична теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7. Оцінка точності у теоремі Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2. Поворотність станів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3. Ергодична теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Випадкові процеси з безперервним часом
Загальні визначення. Вінерівський процес. . . . . . . .
1. Імовірнісні простори. Основні формули
1.1. Дискретні простори
До виникнення теорії ймовірностей об'єктом дослідження науки були явища чи досліди, у яких умови експерименту дозволяють досліднику однозначно визначити результат експерименту. Так, наприклад, у хімії: якщо відомі речовини, що вступають у реакцію, їх властивості, умови, в яких протікатиме реакція, то однозначно можна передбачити результат реакції. У механіці: якщо відома маса тіла, всесили, що на нього діють, координати та початкова швидкість, то неважко обчислити траєкторію наступного руху.
Однак є ряд явищ та експериментів, які називаються випадковими і які характеризуються неможливістю передбачити їхній результат до початку експерименту.
Розглянемо деякі приклади.
1. Одноразове підкидання монети. Тут можливі два результати, їх прийнято позначати «Г» (герб) і «Р» (решка).
2. Одноразове кидання гральної кістки (тобто кубика, у якого на гранях
нанесено числа від 1 до 6). Тут можливі шість результатів експерименту: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
4. Визначення часу безвідмовної роботи приладу. Результатом цього експерименту може бути будь-яке невід'ємне число [0; 1).
5. Рух броунівської частки на площині протягом хвилини. В результаті цього експерименту може здійснитися будь-яка з безлічі траєкторій.
Теорія ймовірностей, як і будь-яка інша математична дисципліна, будує та вивчає математичну модель тих чи інших явищ, у разі випадкових явищ.
Здавалося б, які наукові результати можна отримати щодо підкидання монети? Якщо підкидання одноразове, то, дійсно, мало цікаво.
ресного можна сказати. Але якщо, наприклад, підкидати монету n разів і підрахувати кількість S n гербів, що випали, то виявиться, що при збільшенні n відношення S n =n прагне до 1=2. Цей факт був помічений давно, багато дослідників емпіричним
шляхом його перевіряли ще раз. Так, у дослідах французького дослідника Бюффона монета кидалася 4040 разів, випало 2048 гербів, що призвело до результату Sn=n=0:507. Англійський статистик Пірсон у 24 000 киданнях отримав 12 012 гербів, причому
Виявлена закономірністьодна із найпростіших, вона є наслідком так званого закону великих чисел. Ця та низка інших граничних закономірностей будуть вивчені нами пізніше.
А поки що займемося побудовою математичної моделі випадкових явищ. Для цього потрібно виділити у явищ, що вивчаються, загальні риси і наділити ними модель. При цьому треба постаратися відобразити найбільш істотні риси явищ, що розглядаються, і відкинути несуттєві. Модель не повинна бути надто складною, інакше її вивчати буде важко.
Які ж загальні риси є у явищ, розглянутих у прикладах 15? У кожного є певний набір можливих результатів експерименту. Позначатимемо його грецькою літерою і називатимемо простором елементарних
результатів. У кожного випадкового експерименту своє підкреслимо це. Якщо
звичайно чи рахунково, то називатимемо його дискретним. З розглянутих прикладів дискретні простору з'являються у перших трьох. Елементи множини
зазвичай позначаються літерами! з індексами або без них і називаються елементар-
ними наслідками. Зауважимо, що, незважаючи на використання терміну «простір», що часто зустрічається в математиці, в нашому випадку всього лише абстрактне
безліч (не обов'язково числової природи), у цій множині не вводяться операції складання, множення, немає і відносини порядку.
Далі протягом усього параграфа ми обмежимося розглядом лише дискретних просторів елементарних результатів.
Введемо поняття події. Все добре уявляють подію як щось, що може статися або вже те, що відбувається. Нам потрібно ввести в розгляд математичну модель цього «що відбувається».
Визначення. Подіями називаються довільні підмножини простору елементарних наслідків.
Позначати різні події літерами A, B, C; : : : з індексами або без них. Ми говоритимемо, що подія A відбулася, якщо в результаті випадкового
експерименту реалізувався один із елементарних результатів! 2 A.
Переконаємося на прикладах, що кожна підмножина дійсно відповідає
ет здійснення деякої події в даному випадковому експерименті. Так, підмножина f2; 4; 6g у прикладі 2 відповідає тому, що в результаті кидання
гральної кістки випало парне число очок. Розглянемо експеримент із прикладу 3. Якщо описати тут словами якусь подію, скажімо, надходження на АТС не менше 10 викликів за годину, то ясно, що такій події буде відповідати безліч f10; 11; 12; : : :g .
Порожня безліч? також, за визначенням, є подією, вона називається неможливою (ніколи не може статися). Весь простір теж
є подія, вона називається достовірною. Сукупність всіх можливих подій позначимо S, у дискретному просторі це сукупність всіх підмножин.
Якщо з! 2 A слід ! 2 B, тобто A B, то ми говоримо, що подія A тягне за собою подію B (але не навпаки!).
Над подіями, як над множинами, можна здійснювати операції об'єднання, перетину, різниці, переходу до додаткової множини, причому операції об'єднання і перетину будуть застосовуватися як до кінцевого, так і до безко-
ного набору подій. Нагадаємо деякі визначення:
A i = f! :! 2 A i хоча б за одного ig об'єднання подій (означає, що
відбувається хоча б одне з A1; A 2; : : :);
A i = f! :! 2 A i за всіх i = 1; 2; : : :g перетин подій (означає, що
відбуваються одночасно всі ці події);
AnB = f! :! 2 A; але! 62Bg різниця двохподій;
A = nA = f! :! 62Ag додаткова подія або просто доповнення до A.
Перелік різних властивостей цих операцій не входить у програму нашого курсу, ми зупинимося лише на одному співвідношенні, яке буде використовуватись надалі.
Формула двоїстості. Для будь-якої послідовності подій A 1; A 2; : : :