Лекції з Прикладної Математики - Лекції - Lect27
Безперервні випадкові величини.
Випадкова величина, значення якої заповнюють певний проміжок, називається безперервною.
В окремих випадках це може бути не один проміжок, а об'єднання кількох проміжків. Проміжки можуть бути кінцевими, напівнескінченними або нескінченними, наприклад: (a;b], (– ;a), [b;), (–; ).
Загалом безперервна випадкова величина – це абстракція. Снаряд, випущений з гармати, може пролетіти будь-яку відстань, скажімо, від 5 до 5,3 кілометрів, але нікому не спаде на думку вимірювати цю величину з точністю до 0,0000001 кілометра (тобто до міліметра), не кажучи вже про абсолютну точність . У практиці така відстань буде дискретною випадковою величиною, яка має одне значення від іншого відрізняється принаймні на 1 метр.
При описі безперервної випадкової величини принципово неможливо виписати і занумерувати її значення, що належать навіть досить вузькому інтервалу. Ці значення утворюють безліч, зване «континуум».
Якщо – безперервна випадкова величина, то рівність =хє, як і у разі дискретної випадкової величини, деяка випадкова подія, але для безперервної випадкової величини цю подію можна пов'язати лише з ймовірністю, що дорівнює нулю, що проте не спричиняє неможливості події. Так, наприклад, можна говорити, що тільки з ймовірністю «нуль» снаряд пролетить 5245,7183 метра, або що відхилення дійсного розміру деталі від номінального становитиме 0,001059 міліметра. У цих випадках практично неможливо встановити, відбулася подія чи ні, тому що вимірювання величин проводяться з обмеженою точністю, і як результат вимірювання можна фактично вказати лише межі більш-меншвузького інтервалу, всередині якого виміряне значення.
Значенням безперервної випадкової величини властива деяка невизначеність. Наприклад, немає практичного сенсу розрізняти два відхилення від номінального розміру, що дорівнює 0,5 мм і 0,5000025 мм. Імовірність, відмінна від нуля, може бути пов'язана тільки з попаданням величини в заданий, хоча б дуже вузький, інтервал. Тут можна навести порівняння з розподілом маси вздовж стрижня. Відсутня маса, зосереджена, скажімо, у перерізі, розташованому на відстані 20 см від лівого кінця стрижня, має сенс говорити лише про масу, укладену між перерізами, що проходять через кінці деякого проміжку.
Нехай – безперервна випадкова величина. Розглянемо для деякого числахймовірність нерівностіх