Лекція №1 (введення; найпростіші рівняння), Соціальна мережа працівників освіти
Лекція містить вступ, короткий теоретичний матеріал, вирішення найпростіших рівнянь з параметрами!
| Lekciya_no1.doc | 69 КБ |
Якщо у рівнянні крім змінної містяться числа, позначені літерами, їх називають параметричними рівняннями, а літеру – параметром. Параметр – фіксована, але невідома кількість.
У цьому рівнянні літерою х позначено змінну, а літерою а – деяке фіксоване число. Це рівняння є лінійним рівнянням параметром а . Параметричне рівняння задає не одне рівняння, а сімейство рівнянь, що визначаються параметром.
Для різних значень параметра отримаємо різні рівняння із числовими коефіцієнтами.
при а = 4 - рівняння 0 · х = 6 не має рішення
при а≠4 – рівняння (а-4)х=6 має єдине рішення за кожного а.
У рівнянні b(b -9)х= b(2):
при b = 0 - рівняння 0 · х = 0 має безліч рішень.
при b = 9 - рівняння 0 · х = 9 не має рішення.
при b≠9 та b≠0 – рівняння b(b -9)х= b має єдине рішення при кожному b.
Види рівнянь із параметрами:
- з одним параметром та одним невідомим;
- з двома параметрами та одним невідомим;
- з одним параметром та двома невідомими;
- з двома параметрами та двома невідомими.
Вирішити рівняння з параметром – це означає знайти безліч коренів кожного значення параметра.
- Лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них з одним невідомим та одним параметром.
Нехай а – будь-яке число нерівне нулю, до – будь-яке число.
Розглянемо опорні рівняння!
- Рішенням рівняння а · х = 0 є числох = 0
- У рівнянні 0 · х = а немає рішень
- Рішенням рівняння 0х = 0 є проміжок
- Рішенням рівняння а · х = до є число - єдине рішення
Особливістю розв'язання лінійного параметричного рівняння є розгляд двох випадків:
- Коефіцієнт при змінній дорівнює нулю;
- Коефіцієнт при змінній не дорівнює нулю.
- Контрольним значенням параметра називають значення параметра, у якому коефіцієнт при невідомому перетворюється на нуль. (далі КЗП)
- Допустимі значення параметра, це значення при яких рівняння має сенс. (Далі ДЗП)
Рішення зводиться до розгляду двох випадків
- Якщо а=0, то рівняння немає коренів
- Якщо а≠0, то рівняння має єдиний корінь
Відповідь: (у параметричних рівняннях відповідь завжди пишеться повністю)
При а=0 рівняння немає коренів, при а≠0 рівняння має єдиний корінь .
- Якщо а=0, то рівняння має безліч коренів
- Якщо а≠0, то у=0
Відповідь: при а=0 рівняння має безліч рішень, при а≠0 у=0
- Якщо а=0, то рівняння має безліч рішень
- Якщо а≠0, то х=1
Відповідь: при а=0 рівняння має безліч рішень, при а≠0 х=1
- Якщо а-2 = 0, тобто а = 2, то рівняння 0 · х = 2 не має рішень
- Якщо а≠2, то
Відповідь: при а=2 немає коріння, при а≠2 .
Рішення: КЗП = 1,6
- Якщо а=1,6, то рівняння має безліч коренів
- Якщо а≠1,6, то х=0
Відповідь: при а=1,6 безліч коренів, при а≠1,6 х=0
Приклад №6 При якому значенні параметра b рівняння(2b+5)у=0
має єдине рішення?
- Якщо b = -2,5, то рівняння має безліч розв'язків
- Якщо b≠-2,5, то у = 0 - єдине рішення
Відповідь: при b≠-2,5 рівняння має єдине рішення у = 0.
Приклад №7 При якому корені рівняння bх-10,5х=b-10,5 є будь-яке число?
Знайдемо КЗП, при цьому винесемо х за дужку х(b-10,5)=b-10,5. КЗП = 10,5
Якщо b=10,5, то рівняння має безліч рішень.
Відповідь: при b=10,5 х – будь-яке число
Приклад №8 Визначте значення параметра b, коли корінь рівняння 7-(4-bх)=9 є позитивним числом?
Знайдемо КЗП, при цьому розкриємо дужки 7-4+bх=9.
Рівняння bх = 6 має один корінь. Корінь буде позитивним, якщо b>0.
Відповідь: при b>0 х>0
Приклад №9 При якому значенні параметра k рівняння 3х не має коренів?
При k=2 рівняння немає коренів.
Відповідь: при k=2 рівняння немає коренів.
Приклад №10 При якому значенні параметра рівняння має єдине рішення.
ДЗП – будь-яке а, крім 0.
- Якщо а=0, то рівняння немає коренів
- Якщо а=4, то рівняння має безліч рішень
- Якщо а≠0 і а≠4, то рівняння має єдине рішення; ; х = а.
Відповідь: при а≠0 та а≠4, то рівняння має єдине рішення х=а.
Приклад №11 За яких значень b рівняння b 2 х=b(х-4)-5 має рішення?
ДЗП – будь-яке число
- Якщо b=0 чи b=1, то рівняння немає рішень
- Якщо b≠0 та b≠1, то рівняння має єдине рішення
Відповідь: при b≠0 та b≠1 рівняння має рішення
Приклад №12 При якому значенні параметра а число 7 є коренем рівняння а(у-11)-у(4-а)=21
ДЗП – будь-яке число
У цьому рівнянні немає необхідності знаходити КЗП, оскільки знаючи, що у = 7, отримуємо звичайне лінійне рівняння
Відповідь: при корені рівняння є число 5.