Лекція 11 Гіперболу

Зінаїда Булушева 1 рок. тому Переглядів:

1 Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики

2 Вступні зауваження У цій лекції вивчається ще одна крива другого порядку гіперболу. У шкільному курсі математики гіперболою називається графік функції y = 1 (або, трохи складнішому варіанті, y = k, де k 0). Як ми x x дізнаємося в кінці цієї лекції, це рівняння дійсно задає гіперболу, але далеко не всяка гіпербола може бути задана таким рівнянням. У систематичному курсі математики гіперболою називається крива, яка задається рівнянням іншого виду (див. наступний слайд). Зазначимо ще, що за своїм змістом ця лекція багато в чому аналогічна до попередньої, але є й помітні відмінності.

3 Визначення гіперболи Визначення Гіперболою називається безліч усіх точок площини, координати яких у відповідній системі координат задовольняють рівняння виду x 2 a y2 = 1, (1) 2 b2 де a,b > 0. Це рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.

4 Вершини, фокуси, фокальні радіуси, ексцентриситет і директриси гіперболи Введемо ряд понять, що відіграють важливу роль у вивченні гіперболи. Нехай гіпербола задана рівнянням (1). Покладемо c = a 2 + b 2. Зрозуміло, що c & gt; a. Визначення точки з координатами (a,0), (a,0), (b,0) і (b,0) називаються вершинами гіперболи, величина a дійсною піввіссю гіперболи, а величина b її уявною піввіссю. Точки F 1(c, 0) та F 2( c,0) називаються фокусами гіперболи, причому фокус F 1 називається правим, а фокус F 2 лівим. Якщо точка M належить гіперболі, то відстані F 1M та F 2M називаються фокальними радіусами. Розмір e = c називається ексцентриситетом гіперболи. Прямі з рівняннями x = a та x = aназиваються директорами гіперболи. e e «Фізичний зміст» введених зараз понять стане зрозумілим пізніше, після того, як ми вивчимо форму гіперболи. Поки зазначимо лише, що з визначення ексцентриситету безпосередньо випливає такий факт: для будь-якої гіперболи виконано нерівність e> 1.

5 Розташування гіперболи на площині (1) Вивчимо «зовнішній вигляд» гіперболи. Припустимо, що точка M(x,y) задовольняє рівняння (1). Як і у випадку еліпса, легко переконатися, що гіпербола симетрична щодо обох осей координат. Тому достатньо вивчити форму гіперболи лише у першій чверті. Це дозволяє далі вважати, що x 0 і y 0. Тоді, з (1), y = b a x 2 a 2. (2) Розглянемо пряму з рівнянням y = b x, точніше, промінь цієї прямої, a розташований у першій чверті. Ясно, що b x & gt; x b a a 2 a 2. Це означає, що гіпербола розташована нижче за пряму. ( b lim x + a x b x ) b a 2 a 2 = lim (x x x + a 2 a 2) = ( b x = lim x + a x2 a 2)( x + x 2 a 2) x + = x 2 a 2 ab = lim x + x + x 2 a = 0. 2 Отже, при x + гіперболі необмежено наближається до прямої y = b x, яка, таким чином, є асимптотою a гіперболи.

6 Розташування гіперболи на площині (2) Неважко бачити, що в першій чверті немає точок гіперболи, для яких x 0 і y 0. Отже, у першій чверті гіпербола зростає і увігнута (тобто опукла вгору). Крім того, (2) легко випливає, що в першій чверті гіпербола перетинає вісь абсцис в точці (a,0), а вісь ординат не перетинає. З урахуванням симетрії щодо осей координат і те, що пряма y = b a x є асимптотою, отримуємо криву, зображену на рис. 1 (див. наступний слайд).

7 Розташування гіперболи на площині (малюнок) y = b a x y b r 2пр M r 1пр a a F 2( c,0) O F 1(c,0) x b y = b a x x =a e x = a e Рис. 1

9 Обчислення фокальних радіусів (1) Основна мета даної лекції довести дві теореми, що характеризують гіперболу як геометричне місце точок з деякими властивостями. Для цього нам знадобиться наступний допоміжний факт. Лемма 1 Якщо точка M(x,y) належить гіперболі, заданій рівнянням (1), то r 1пр = ex a, r 2пр = ex + a, r 1лев = ex + a, r 2лев = ex a. Доведення. Якщо точка M(x, y) належить гіперболі, то звідки y 2 b 2 = x2 a 2 1, y 2 = b2 a 2 x2 b 2. (3) Припустимо, що точка M лежить на правій гілки гіперболи.

10 Обчислення фокальних радіусів (2) Використовуючи (3), отримуємо, що виконані рівності Враховуючи, що r 1пр = F 1M = (x c) 2 + y 2 = = x 2 2cx + c 2 + b2 a 2 x2 b 2 = ( ) = 1+ b2 x a 2 2cx + c 2 b 2. 2 маємо 1+ b2 a = a2 + b 2 = c2 2 a 2 a = 2 e2, c = ea, і c 2 b 2 = a 2, r 1пр = e 2 x 2 2eax + a 2 = (ex a) 2 = ex a. Оскільки x a а e > 1, то ex a = ex a, і тому r 1пр = ex a. Інші рівності з формулювання леми перевіряються цілком аналогічно.

11 Перша характеризування гіперболи (1) Наступна теорема дає характеризування гіперболи, яку нерідко приймають за її визначення. Теорема 1 Точка M належить гіперболі, заданої рівнянням (1), тоді і тільки тоді, коли модуль різниці відстаней від M до фокусів дорівнює 2a. Доведення. Необхідність. В силу леми 1, маємо r 1пр r 2пр = r 1лев r 2лев = 2a. Достатність. Нехай M(x, y) точка площини, на яку виконано рівність F 1M F 2M = 2a. Тоді (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 2a, або (x c) 2 + y 2 = ±2a+ (x + c) 2 + y 2.

12 Перша характеризування гіперболи (2) Звівши обидві частини останньої рівності в квадрат, отримаємо x 2 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a (x + c) 2 + y 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 Після очевидних перетворень маємо ±a (x+ c) 2 + y 2 = a 2 + cx. Ще раз зведемо отриману рівність у квадрат. Отримаємо a 2 (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 або (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) . Оскільки a 2 c 2 = b 2 останню рівність можна переписати у вигляді b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Розділивши цю рівність на a 2 b 2, ми отримаємо рівняння (1).

13 Друга характеризування та оптична властивість гіперболи Наступна теорема дає ще одну характеризацію гіперболи. Теорема 2 Точка M належить гіперболі тоді і тільки тоді, коли відношення відстані від M до фокусу до відстані від M до відповідної цьому фокусу директриси дорівнює ексцентриситету гіперболи. Гіпербола має наступну оптичну властивість: Теорема 3 Світло від джерела, що знаходиться в одному з фокусів гіперболи, відображається другою гілкою гіперболи таким чином, що продовження відбитих променів перетинаються в другому фокусі. Ми не наводимо докази цих двох теорем, оскільки вони цілком аналогічні доказам теорем 2 та 3 з лекції 10.

14 «Шкільна» гіпербола (1) Як ми вже зазначали на початку лекції, у шкільному курсі математики гіперболою називається графік функції y = k, де k 0. Природно x виникає питання, як співвідноситься «шкільна» гіпербола з гіперболою, введеною в цій лекції . Відповідаючи це питання, можна обмежитися випадком, коли k > 0 (якщо k 15 «Шкільна» гіпербола (2) Це означає, що в системі координат Ox y «шкільна» гіпербола визначається рівнянням (x) 2 (y) 2 = 1. Оскільки k & gt; 0, то 2k = a 2 для 2k 2k деякого a 0. Отже, останнє рівняння можна переписати у вигляді (x) 2 (y) 2 = 1. Ми отримали рівняння виду (1), в якому a = b. a 2 a 2 Визначення Гіпербола, задана рівнянням виду (1), у якому a = b, називається рівностороннім.Таким чином, «шкільна» гіпербола є окремим випадком гіперболи, яка визначається рівнянням (1), а саме, рівносторонньою гіперболою. Канонічне рівняння ця гіпербола має в системі координат, яка виходить повором на кут тієї системи координат, в якій вона має рівняння виду y = k при k > 0. x Проведені міркування ілюструє рис. 2 на наступному слайді.

16 «Шкільна» гіпербола (малюнок) y y O Рис. 2 x x