Лекція 6 Крамерівські системи лінійних рівнянь

George Begun 3 роки тому Переглядів:

1 Лекція 6: Крамерівські системи лінійних рівнянь Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики

2 Вступні зауваження У курсі аналітичної геометрії згадувалася теорема Крамера для систем двох лінійних рівнянь із двома невідомими та трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. У цій лекції ця теорема буде сформульована і доведена у загальному випадку для систем n лінійних рівнянь з n невідомими за будь-якого n. Будуть також отримані деякі наслідки цієї теореми.

3 Визначення крамеровської системи. Визначники, пов'язані з крамерівською системою (1) Визначення Система лінійних рівнянь називається крамеровською, якщо в ній число рівнянь дорівнює числу невідомих. Крамерівські системи отримали назву на честь швейцарського математика XVIII століття Габріеля Крамера, який вивчав їх. Розглянемо систему з n лінійних рівнянь з n невідомими: a 11x 1 + a 12x a 1nx n b 1, a 21x 1 + a 22x a 2nx n b 2, a n1x 1 + a n2x a nnx n b n. (1) Визначник основної матриці системи (1) позначимо через і називатимемо визначником системи (1).

4 Визначники, пов'язані з крамеровською системою (2) Далі, для кожного i 1, 2. n позначимо через i визначник матриці, отриманої заміною i-го стовпця основної матриці системи (1) на стовпець вільних членів цієї системи. Іншими словами, a 11 a a 1n b 1 a a 1n a 21 a a 2n , 1 b 2 a a 2n , a n1 a n2. a nn b n a n2. a nn a 11 b 1 a a 1n a a 1 n 1 b 1 2 a 21 b 2 a a 2n . n a a 2 n 1 b a n1 b n a n3. a nn a n1. a n n 1 b n

5 Теорема Крамера (1) Основним результатом даної лекції є наступна теорема, відома яктеорема Крамера. Теорема 1 Якщо 0, система (1) має єдине рішення, яке обчислюється за формулами x n, x2. xn. Доведення. Нехай 0. Доведемо спочатку існування рішення системи (1). І тому досить переконатися у цьому, що набір чисел ( ) 1, 2. n (2) є рішенням системи, т. е. звертає її рівняння у правильні рівності. Підставимо цей набір у перше рівняння системи та розкладемо визначник 1 по першому стовпцю, визначник 2 по другому стовпцю. визначник n по n-му стовпцю.

6 Теорема Крамера (2) Отримаємо a a12 n + + a1n 1 ( a111 + a a1nn) 1 [ a 11(b 1A 11 + b 2A b na n1) + +a 12(b 1A 12 + b 2A b na n2) a 1n(b 1A 1n + b 2A 2n + + b na nn)]. Розкривши круглі дужки і згрупувавши доданки, що містять b 1, b 2. b n, можна переписати отриманий вираз у вигляді 1 [ 2n) b n(a 11A n1 + a 12A n2 + + a 1nA nn)]. Вираз у перших круглих дужках є не що інше, як розкладання визначника по першому рядку, а вирази в інших круглих дужках дорівнюють нулю з пропозиції 8 з лекції 5.

7 Теорема Крамера (3) Тому остаточно отримуємо, що a a12 2 n + + a1n 1 b1 b1, тобто набір чисел (2) перетворює перше рівняння системи (1) на правильну рівність. Аналогічно перевіряється, що він перетворює на вірні рівності й інші рівняння цієї системи. Доведемо тепер єдиність рішення. Нехай (x1 0, x2 0. xn 0) довільне рішення системи (1). Іншими словами, цей набір чисел звертає всі рівняння системи у вірні рівності: a 11x1 0 + a 12x a 1nxn 0 b 1, a 21x1 0 + a 22x a 2nxn 0 b 2, a n1x1 0 + a n2x a nnxn 0. Помножимо першу з цих рівностей на A 11, друге на A 21. остання на A n1 і складемо отримані рівності.

8 Теорема Крамера (4) Згрупувавши влівої частини суми доданки, що містять x 0 1, x 0 2. x 0 n, отримаємо a nna n1) x 0 n b 1A 11 + b 2A b na n1. У лівій частині цієї рівності вираз у перших круглих дужках є точно розкладання визначника по першому стовпцю, а вирази у всіх інших круглих дужках дорівнюють нулю в силу пропозицій 8 і 10 з лекції 5. А в правій частині стоїть розкладання визначника 1 по першому стовпцю. Отже, останню рівність можна переписати як x Аналогічно доводиться, що x 0 2 2. x 0 n n. Таким чином, справедливо Примітка 1 Якщо (x 0 1, x 0 2. x 0 n ) рішення системи (1), то x 0 1 1, x 0 2 2. x 0 n n.

9 Теорема Крамера (5). Наслідки 1 і 2 Оскільки 0 отримуємо, що x 0 1 1, x 0 2 2. x 0 n n. Отже ми взяли довільне рішення і довели, що воно збігається з рішенням (2). Отже, рішення єдине. Теорему Крамера доведено. Вкажемо низку наслідків із теореми Крамера. З зауваження 1 безпосередньо випливає Наслідок 1 Якщо 0, а принаймні один із визначників 1, 2. n відмінний від 0, то система (1) не має рішень. Наслідок 2 Якщо 1 2 n 0, то система (1) або не має рішень, або має безліч рішень. Доказ слідства 2 наведено на наступному слайді.

10 Доказ слідства 2. Наслідок 3 Доказ. Припустимо, що 1 2 n 0 та система (1) спільна. Достатньо перевірити, що в цьому випадку система (1) має безліч рішень. Наведемо основну матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду. Зрозуміло, що отримана матриця буде верхньотрикутною. У силу пропозиції 11 з лекції 5 принаймні один елемент її головної діагоналі дорівнює 0. З визначення ступінчастої матриці тепер випливає, що останній рядок отриманої намиступінчастої матриці є нульовою. Отже, число ненульових рядків у цій матриці менше від кількості її стовпців. Як видно з викладу методу Гауса (див. випадок 3 у лекції 4), це означає, що система має безліч рішень. З теореми Крамера та наслідків 1 і 2 безпосередньо випливає Наслідок 3 Крамерівська система лінійних рівнянь має єдине рішення тоді й лише тоді, коли 0.

11 Наслідок 4 Наслідок 4 Крамерівська однорідна система лінійних рівнянь має ненульове рішення тоді і лише тоді, коли її визначник дорівнює нулю. Доведення. З огляду на 1 з лекції 3 будь-яка однорідна система спільна. Тому якщо 0, то через слідство 3 наша система має більше одного рішення. Зрозуміло, всі ці рішення, крім одного, ненульові. Назад, якщо крамеровська однорідна система має ненульове рішення, вона має більше одного рішення (оскільки нульове рішення в неї є завжди). Але тоді 0 через теорему Крамера.

12 Приклад застосування теореми Крамера (1) Теорема Крамера часто використовується при вирішенні завдань, які на перший погляд ніяк не пов'язані із системами лінійних рівнянь. Наведемо приклад такого завдання. Завдання. Знайти багаточлен f (x) ступеня 3 такий, що f (1) 0, f (1) 4, f (2) 2 та f (2) 6. Рішення. Нехай f (x) a 3x 3 + a 2x 2 + a 1x + a 0. Тоді: f (1) a 3 + a 2 + a 1 + a 0, f (1) a 3 + a 2 a 1 + a 0, f(2) 8a 3 + 4a 2 + 2a 1 + a 0, f(2) 8a 3 + 4a 2 2a 1 + a 0. Отримуємо крамеровську систему лінійних рівнянь: a 3 + a 2 + a 1 + a 0 0, a 3 + a 2 a 1 + a 0 4, 8a 3 + 4a 2 + 2a 1 + a 0 2, 8a 3 + 4a 2 2a 1 + a 0 6. Підрахуємо визначник системи (3) методом приведення матриці до трикутного виду: (3)

13 Приклад застосування теореми Крамера (2) Зокрема, 0, і тому ми можемо застосовувати теорему Крамера.Знайдемо визначники 1. 4: , ,

14 Приклад застосування теореми Крамера (3) ,

15 Приклад застосування теореми Крамера (4) У силу теореми Крамера маємо: a , a , a , 72 a Відповідь. f(x) x 3+2x2+3x4.