Лінійчаста геометрія Енциклопедія БСЕ
Значення слова "Лінійчаста геометрія"
Лінійчаста геометрія, розділ геометрії, в якому розглядаються як елементи простору прямі лінії. Як відомо, пряма в просторі визначається чотирма постійними коефіцієнтами а, b, р, q в рівняннях х = az + р, у = bz + q. Отже, величини а, b, р, q можна як координати прямої. Якщо ці координати є функціями одного, двох або трьох параметрів, то відповідні сукупності прямих утворюютьлінійчасті поверхніі т.з. конгруенції та комплекси прямих. Ці геометричні образи і є об'єктом вивчення Л. р. Прикладом лінійної поверхні може бути однопорожнинний гіперболоїд, прикладом конгруенції - сукупність загальних дотичних до двох будь-яких поверхонь, прикладом комплексу прямих - сукупність дотичних до однієї поверхні.
Для вивчення лінійних поверхонь, конгруенцій і прямих комплексів з єдиної точки зору в Л. р. вводяться так звані лінійні однорідні координати прямої. Нехай задані дві точки M1(x1, y1, z1) та M2(x2, y2, z2), тоді лінійними однорідними координатами прямої, що проходить через ці точки, називають шість чисел, пропорційних (або рівних) числам:
Числа x 1, x 2, x 3 є компонентами вектора, а x 4, x 5, x 6 – компоненти моменту цього вектора щодо початку координат. Легко перевірити, чи числа x i задовольняють співвідношенню
Таким чином, кожній прямій відповідають шість визначених з точністю до постійного множника чисел x i, що задовольняють співвідношенню (1), і назад, числа x i (не всі рівні нулю), пов'язані умовою (1), визначають єдиним чином деяку пряму (як її координати вказаному вище сенсі). Одне одноріднелінійне рівняння
(2)
визначає лінійний комплекс - сукупність прямих, що заповнюють простір так, що через кожну точку простору проходить пучок прямих, що лежать в одній площині. Таким чином, кожній точці («полюсу») простору можна поставити у відповідність площину («полярну площину»), що містить всі прямі комплекси, що проходять через цю точку. Цю відповідність називають нульовою системою; воно аналогічне відповідності полюсів та полярних площин поверхні 2-го порядку. Якщо полярні площини всіх точок простору проходять через одну пряму (вісь), комплекс складається з усіх прямих, що перетинають вісь; його називають спеціальним лінійним комплексом. У цьому випадку коефіцієнти рівняння (2) задовольняють умову
Система двох однорідних лінійних рівнянь виду (2) визначає лінійну конгруенцію - сукупність прямих, що перетинають дві дані прямі (які можуть бути уявними). Три однорідні лінійні рівняння визначають лінійчасту поверхню, що є в цьому випадку або однопорожнинним гіперболоїдом, або гіперболічним параболоїдом.
Лінійні однорідні координати прямої були введені Ю. Плюккером в 1846. Він же докладно вивчив теорію лінійного комплексу. Надалі Л. р. розроблялася у роботах Ф.Клейната українського математика А. П. Котельникова. Диференціальна геометрія конгруенцій, розпочата Е.Куммерому 1860, отримала великий розвиток у працях італійських математиків Л. Біанкі, Г. Санніа та французького математика А. Рібокура. На основі створеного в 1895 р. Котельниковим «гвинтового» обчислення радянським математиком Д. Н. Зейлігером розвинена теорія лінійних поверхонь і конгруенцій. Проективна теорія конгруенцій побудована 1927 року радянським математиком С. П. Фініковим.
Літ.:Зейлігер Д. Н., Комплексна лінійна геометрія. Поверхні та конгруенції, Л. - М., 1934; Фініков С. П., Теорія поверхонь, М. - Л., 1934; його ж, Проективно-диференціальна геометрія, М. - Л., 1937; його ж, Теорія конгруенцій, М. - Л., 1950; Каган Ст Ф., Основи теорії поверхонь у тензорному викладі, ч. 1-2, М. - Л., 1947-48; Клейн Ф., Вища геометрія, пров. з ньому., М. - Л., 1939; Zindler К., Liniengeometrie, Bd 1-2, Lpz., 1902-06.
Велика Радянська Енциклопедія М.: "Радянська енциклопедія", 1969-1978
Читайте також у БСЕ :
Лінійчаста поверхняЛінійчаста поверхня, сукупність прямих, що залежить від одного параметра; Л. п. можна описати рухом прямої (утворюючої) по деякій лінії (напрямній). Л. п. поділяються на розв.
Акустична лінзаАкустична лінза, пристрій для зміни збіжності звукового пучка (фокусування звуку). Подібно до оптичних лінз, акустична Л. обмежена двома робочими поверхнями і виконую.
Лінза (в оптиці)Лінза (нім. Linse, від лат. lens - сочевиця), прозоре тіло, обмежене двома поверхнями, що заломлюють світлові промені; є одним із основних елементів оптичних систем. Найбо.