Локально кінцева група
У математиці, у галузі теорії груп,локально кінцева група— це група певним чином (як індуктивна межа), що конструюється з кінцевих груп. Як і кінцевих груп, для локально кінцевих груп вивчаються підгрупи Силова, підгрупи Картера тощо.
Зміст
Найчастіше використовуються такі визначення:
Локально кінцевою групоюназивається група, кожна звичайно породжена підгрупа якої є кінцевою.
Локально кінцевою групоюназивається група, у якої кожне кінцеве підмножина міститься в кінцевій підгрупі.
Ці визначення рівносильні.
- Кінцева група є локально кінцевою
- Пряма сума кінцевих груп є локально кінцевою [1].
- Квазициклічна група є локально кінцевою.
- Гамільтонова група є локально кінцевою.
- Періодична лінійна група є локально кінцевою [2]
- Роздільнаперіодична група є локально кінцевою. [3]
Теорема Шмідта: клас локально кінцевих груп замкнутий щодо взяття підгруп, фактор груп та розширень [4] .
У кожної групи єдина максимальна локально кінцева підгрупа [5] .
Будь-яка нескінченна локально кінцева група містить нескінченну абелеву підгрупу [6] .
Якщо локально-кінцева група містить кінцеву максимальну p-підгрупу, всі її максимальні p-підгрупи пов'язані, причому якщо їх кількість звичайно, воно порівняно з 1 по модулю p (див. також Теореми Силова).
Якщо кожна лічильна підгрупа локально кінцевої групи містить не більш ніж лічильну кількість максимальних p-підгруп, то всі її максимальні p-підгрупи пов'язані [4] .