М з ентом

аргументом

Міністерство освіти України

Міжнародний освітній консорціум «Відкрита освіта»

Московський державний університет економіки, статистики та інформатики

АНО «Євразійський відкритий інститут»

Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом

Навчальний посібник Інструкція з вивчення дисципліни

Збірник завдань з дисципліни Навчальна програма з дисципліни

Геворкян Е.А. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ІЗ ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ: Навчальний посібник, посібник з вивчення дисципліни, збірник завдань з дисципліни, навчальна програма з дисципліни / Московський державний університет економіки, статистики та інформатики9 - 2:2.

Геворкян Е.А., 2004

Московський державний університет економіки, статистики та інформатики, 2004

РОЗДІЛ I. Метод кроків розв'язання диференціальних рівнянь

із запізнілим аргументом.

1.1 Класифікація диференціальних рівнянь з

аргументом, що відхиляється. Постановка початкового завдання.

1.2 Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. Спосіб кроків. .

1.3 Диференціальні рівняння з поділяються

змінними та із запізнілим аргументом.

1.4 Лінійні диференціальні рівняння із запізнілим аргументом.

1.5 Диференціальні рівняння Бернуллі із запізнілим аргументом. .

1.6 Диференціальні рівняння у повних диференціалах

із запізнілим аргументом.

РОЗДІЛ ІІ. Періодичні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь

із запізнілим аргументом.

2.1. Періодичні розв'язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь

з постійними коефіцієнтами і із запізнілим аргументом.

2.2. Періодичні рішення лінійних неоднорідних диференціальних

рівнянь з постійними коефіцієнтами і із запізнілим аргументом.

2.3. Комплексна форма ряду Фур'є.

2.4. Знаходження приватного періодичного рішення лінійних неоднорідних

диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та запізнюючим

аргументом розкладанням правої частини рівняння до ряду Фур'є.

РОЗДІЛ ІІІ. Наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь

із запізнілим аргументом.

3.1. Наближений метод розкладання невідомої функції

із запізнюючим аргументом за ступенями запізнення.

3.2. Наближений метод Пуанкаре. .

РОЗДІЛ IV. Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом,

що з'являється під час вирішення деяких економічних завдань

з урахуванням тимчасового лага.

4.1. Економічний цикл Колецького. Диференціальне рівняння

із запізнілим аргументом, що описує зміну

запасу готівкового капіталу.

4.2. Характеристичне рівняння. Випадок речових

коренів характеристичного рівняння.

4.3. Випадок комплексного коріння характеристичного рівняння.

4.4. Диференціальне рівняння із запізнілим аргументом,

описує динаміку національного доходу в моделях з лагами

(Вживання пропорційно національному доходу).

4.5. Диференціальне рівняння із запізнілим аргументом,

описує динаміку національного доходу в моделях з лагами

(Вживання експоненційно зростає з темпом приросту).

Посібник з вивчення дисципліни

2. Список основних тем.

2.1. Тема 1. Основні поняття та визначення. Класифікація

диференціальних рівнянь заргументом, що відхиляється.

Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом. .

2.2. Тема 2. Постановка початкового завдання. Метод кроків розв'язання

диференціальних рівнянь із запізнілим аргументом. приклади.

2.3. Тема 3. Диференціальні рівняння з такими, що розділяються

змінними і із запізнілим аргументом. приклади. .

2.4. Тема 4. Лінійні диференціальні рівняння

із запізнілим аргументом. приклади. .

2.5. Тема 5. Диференціальні рівняння Бернуллі

із запізнілим аргументом. приклади. .

2.6. Тема 6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах

із запізнілим аргументом. Необхідні та достатні умови. приклади.

2.7. Тема 7. Періодичні рішення лінійних однорідних диференціальних

рівнянь з постійними коефіцієнтами і із запізнілим аргументом.

2.8. Тема 8. Періодичні рішення лінійних неоднорідних диференціальних

рівнянь з постійними коефіцієнтами і із запізнілим аргументом.

2.9. Тема 9. Комплексна форма низки Фур'є. Пошук приватного періодичного

вирішення лінійних неоднорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами та з

запізнілим аргументом розкладанням правої частини рівняння до ряду Фур'є.

2.10. Тема 10. Наближене розв'язання диференціальних рівнянь з

запізнюючим аргументом методом розкладання функції від запізнення

за ступенями запізнення. приклади.

2.11. Тема 11. Наближений метод Пуанкаре знаходження періодичного

вирішення квазілінійних диференціальних рівнянь з малим параметром та

із запізнілим аргументом. приклади. .

2.12. Тема 12. Економічний цикл Колецького. Диференціальне рівняння

із запізнілим аргументом дляфункції К(t), що показує запас готівкового

основного капіталу на момент t.

2.13. Тема 13. Аналіз характеристичного рівняння, що відповідає

диференційного рівняння для функції K(t). .

2.14. Тема 14. Випадок комплексних рішень характеристичного рівняння

2.15. Тема 15. Диференціальне рівняння для функції у(t), що показує

національний дохід у моделях з лагами капітальних вкладень за умови, що

функція споживання має вигляд c(t - τ ) = (1 - α ) у (t - τ ), де α - постійна норма

2.16. Тема 16. Диференціальне рівняння функції y(t), що показує

національний дохід у моделях з лагами капітальних вкладень за умови, що

функція споживача має вигляд c(t−τ) = c(o)e r(t−τ).

Збірник завдань із дисципліни.

Навчальна програма з дисципліни.

Даний навчальний посібник присвячений викладу методів інтегрування диференціальних рівнянь із запізнілим аргументом, що зустрічаються в деяких технічних та економічних задачах.

Вищевказаними рівняннями зазвичай описуються будь-які процеси з післядією (процеси із запізненням, із тимчасовою затримкою). Наприклад, коли в досліджуваному процесі значення цікавої для нас величини в момент часу t залежить від величини x в момент часу t-τ, де τ - тимчасовий лаг (y(t)=f[x(t-τ)]). Або, коли значення величини y в момент часу t залежить від значення цієї ж величини в момент часу

мені t-τ (y(t) = f[y(t-τ)]).

Процеси, що описуються диференціальними рівняннями із запізнілим аргументом, зустрічаються і в природничих, і в економічних науках. В останніх це пов'язано як із існуванням тимчасового лага в більшості зв'язках циклу суспільного виробництва, так і знаявністю інвестиційних лагів (період від початку проектування об'єктів до введення в дію на повну потужність), демографічних лагів (період від народження до вступу у працездатний вік та початку трудової діяльності після здобуття освіти).

Облік тимчасового лага під час вирішення технічних і економічних завдань має значення, оскільки наявність лага може суттєво вплинути характер одержуваних рішень (наприклад, за певних умов може призвести до нестійкості рішень).

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

ІЗ ЗАПАЗНИМ АРГУМЕНТОМ

РОЗДІЛ I. Метод кроків розв'язання диференціальних рівнянь

із запізнілим аргументом

1.1. Класифікація диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється. Постановка початкового завдання

Визначення 1 . Диференціальними рівняннями з аргументом, що відхиляється, називаються диференціальні рівняння, в яких невідома функція X(t) входить при різних значеннях аргументу.