Магічні квадрати, поняття арифметичної прогресії
Найдавніші за походженням числа – натуральні.
У світі натуральних чисел нескінченно багато таких, кожне з яких має лише два натуральні дільники: одиницю і себе.
Це звичайні числа. Властивості простих чисел інтригують і вчених, і любителів. Нагромадилося багато доведених теорем про прості числа, але ще більше не доведені, серед яких є важливі для науки, а є і аматорські.
Розглянемо деякі цікаві особливості простих чисел.
Безліч простих чисел нескінченно велике.
Починаючи числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ряд їх простягається без кінця. Доказ нескінченності належить давньогрецькому математику Евкліду і входить до його знаменитого «Початку»
168 місць першої тисячі натуральних чисел займають найпростіші числа. З них 16 чисел – паліндромічні – кожне рівно наверненому 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919,
Деякі прості числа знаходять симетричне собі просте число:
4 пари двоцифрових 13-31, 17-71, 37 - 73, 79 - 97; 14 пар тризначних чисел 107 - 701, 113 - 311, 149 - 941, 157 - 751, 167 - 761, 179 - 971, 199 -991, 337 - 733, 399 - 3 709 – 907, 739 -937, 769 - 967
Магічні (чарівні) квадрати – квадратні таблиці натуральних чисел (з однаковою кількістю рядків і стовпців), що мають ту саму суму чисел за всіма рядками, стовпцями та діагоналями.
Арифметична прогресія – послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії.
Чи існують арифметичні прогресії, які складаються лише з простих чисел?
Якщо d = 1, то прогресії є парнічисла. Оскільки єдине парне просте число 2 отримуємо прогресію 2, 3.
Якщо d = 2, то три члени прогресії а, а + 2, а + 4 дають при розподілі на 3 попарно різні залишки. Тому одне з них ділиться на три і, будучи простим числом, дорівнює 3. Отримуємо прогресію 3, 5, 7
Якщо три простих числа утворюють арифметичну прогресію, її різниця кратна шести.
Щоб число ділилося на шість, воно має бути парним та ділитися на три.
Розглянемо три прості числа, які утворюють арифметичну прогресію: р, р + d, p+2d. p›3
Якщо р просте, тоді воно непарне.
Якщо d непарне, значить p+d-парне, що неможливо, тому що воно просте. Отже, d – парне.
Якщо d не ділиться на три, то з чисел р, р + d, p + 2d є те, що ділиться на три, що неможливо.
Залишки від розподілу чисел на три – це 1 або 2
1) Нехай при розподілі p на три залишок дорівнює одиниці.
А) Якщо при розподілі d на три залишок дорівнює два, то p+d ділиться на три.
Б) Якщо при розподілі d на три залишок дорівнює одиниці, то при розподілі 2d на три залишок дорівнює двом, отже, p+2d ділиться на три.
2) Нехай при розподілі p на три залишок дорівнює двом.
А) Якщо при розподілі d на три залишок дорівнює двом, то при розподілі 2d на три залишок дорівнює 4. При розподілі 4 на три залишок дорівнює 1, отже p+2d ділиться на три.
Б) Якщо при розподілі d на три залишок дорівнює одиниці, p+d ділиться на три.
Дано магічні квадрати
Кожен квадрат має магічні суми. Всі числа, що розмістилися в осередках цих квадратів, - прості. Випишемо числа з квадратів і розташуємо їх послідовністю, що зростає.
Послідовності, що виходять, є арифметичними прогресіями.
А) 151 (+30), 181 (+30), 211
В) 613(+30),643(+30), 673,
(+150) 1033(+30),1063(+30), 1093
У ході науково-дослідної роботи, яка називається
«Зайняті зграйки простих чисел», ми розглянули деякі властивості простих чисел, паліндромічних, симетричних, показали, що арифметична прогресія, що складається лише з простих чисел, існує.
Різниця такої прогресії має бути кратна шести.
У ході роботи було знайдено прості числа, що утворюють арифметичну прогресію та здатні при цьому розміститися у магічному квадраті.