Магічні квадрати Що таке"магічний квадрат"
Що таке магічний квадрат?
Магічним квадратом n-го порядку називається квадратна таблиця розміром n х n, заповнена натуральними числами від 1 до n2, суми яких за всіма рядками, стовпцями та обома діагоналями однакові. Розрізняють магічні квадрати парного та непарного порядку (залежно від парності n), Поля таблиці, в які записують числа, називаються клітинами магічного квадрата, а сума чисел, що стоять у будь-якому рядку, стовпці або на діагоналі, - його постійною.
^ З історії розвитку магічних квадратів
Священні, чарівні, загадкові, таємничі, досконалі… Як тільки їх не називали. - ”Я не знаю нічого прекраснішого в арифметиці, ніж ці числа, звані деякими планетними, а іншими - магічними” - писав про них відомий французький математик, один із творців теорії чисел П'єр де Ферма. Приваблюють природною красою, наповнені внутрішньою гармонією, доступні, але, як і раніше, незбагненні, приховують за простотою безліч таємниць. Знайомтеся: магічні квадрати – дивовижні представники уявного світу чисел.
Назву «магічні» квадрати отримали від арабів, які побачили в їхніх властивостях щось містичне і тому брали квадрати за своєрідні талісмани, які захищали тих, хто їх носить, від багатьох нещасть. До дивовижних квадратів виявляли інтерес і середньовічні арабські математики, які наводили їх приклади у творах.
У середньовічній Європі, як і Сході, магічним квадратам часто приписували різні містичні властивості. Тому не дивно, що вони користувалися особливою популярністю у віщунів, астрологів та лікарів. Було навіть повір'я, щовигравіруваний на срібній пластині магічний квадрат захищає від чуми.
На початку XVI у знаменитий німецький художник Альбрехт Дюрер увічнив магічний квадрат у мистецтві, зобразивши
його на гравюрі "Меланхолія" (рис. 1.1).
Квадрат Дюрера має розмір 4 х 4 і складений із шістнадцяти перших натуральних чисел, сума яких у кожному рядку, стовпці та на діагоналі дорівнює 34. Виявляється, 34 рівні і суми інших четвірок чисел: розташованих у центрі, у кутових клітинах, з боків центрального квадрата (рис. 1.2, а), а також утворюють чотири рівні квадрати, на які можна розділити вихідний квадрат (рис. 1.2, б). А ось числа 15 і 14 у нижньому рядку квадрата вказують дату створення гравюри – 1514 р.
Бернар Френікль де Бессі - французький математик XVII ст., Який займався в основному теорією чисел.
У середині XVI ст. в Європі з'явилися перші твори, в яких магічні квадрати постали як об'єкти математичного дослідження. Так було започатковано їхнє нове життя. Потім було безліч інших робіт, зокрема таких відомих математиків, як Штіфель, Баше, Паскаль, Ферма, Бессі, Ейлер, Гаусс.
Наприклад, Баше де Мезіріак описав простий графічний спосіб побудові квадратів непарного порядку. Останній не раз перевідкривався і, ймовірно, був винайдений ще в давнину. Зазначимо, що у XVI-XV1I ст. складанням магічних квадратів займалися з таким самим захопленням, з яким сьогодні вигадують та розгадують кросворди. Цікаво, що саме в одній із книг Баші магічні квадрати вперше постали як математична гра.
Приблизно в той же час П'єр де Ферма розробив загальний метод побудови квадратів парного порядку, а Френікль де Бессі обчислив і побудував усі різні квадрати4-го порядку (загалом їх налічується 880). Подальший розвиток теорії магічних квадратів виявився пов'язаним з розвитком теорії чисел та комбінаторики.
У наш час магічні квадрати продовжують привертати до себе увагу не лише фахівців, а й любителів математичних ігор та розваг. За останнє століття значно зросла кількість книг із цікавої математики, в яких містяться головоломки та завдання, пов'язані з незвичайними квадратами. Для їхнього успішного вирішення потрібні не стільки спеціальні знання, скільки кмітливість та вміння помічати числові закономірності. Вирішення таких завдань не тільки принесе задоволення тим, хто цікавиться математикою, а й послужить чудовою «гімнастикою для розуму».
Магічні квадрати виникли в давнину в Китаї. Ймовірно, найстарішим з магічних квадратів, що дійшли до нас, є таблиця Ло Шу (бл. 2200 до н. Е..). Вона має розмір 3x3 і заповнена натуральними числами від 1 до 9. У цьому квадраті сума чисел у кожному рядку, стовпці та діагоналі дорівнює 15 (рис. 1.3, а). Згідно з однією з легенд, прообразом Ло Шу став візерунок із зв'язаних чорних і білих крапок (рис. 1.3, б), що прикрашав панцир величезної черепахи, яку зустрів одного разу на березі річки Ло-Шуй міфічний прабатько китайської цивілізації Фусі. Жителі Піднебесної вважали таблицю Ло Шу священною, у них навіть не виникало думки про складання аналогічних квадратів більшого розміру, тому останні почали з'являтися лише через три тисячоліття.
Малюнок 1.3 Малюнок 1.3
Назву "магічні" квадрати отримали від арабів, З Китаю магічні квадрати поширилися спочатку в Індію, потім в Японію та інші країни. На сході їх вважали чарівними, сповненими таємного сенсу символами, і використовували при заклинаннях.
4 На рис. 1.4 зображено магічний квадрат 4-го порядку, відомий ще давнім індусів.
Він цікавий тим, що зберігає властивість
бути магічним після послідовної
перестановки рядків (стовпців).
^ Різновиди магічних квадратів.
Серед безлічі магічних квадратів деякі виділяються особливими властивостями: числа, з яких вони складені, задовольняють різні додаткові умови.
Так, у зображеного на рис. 1.5 магічного квадрата 5-го порядку суми п'ятрок чисел у клітинах, розташованих на «розламаних» діагоналях (клітини зафарбовані одним і тим же кольором), дорівнюють постійній магічному квадрату - числу 65. Квадрат з такою властивістю називається досконалим.
Легко переконатися в тому, що квадрат залишиться досконалим, якщо його піддати таким перетворенням, як поворот і симетрія. Виявляється, існують інші перетворення, що зберігають цю властивість. Так, квадрат залишиться досконалим після того, як його верхній рядок переставити вниз або лівий стовпець перенести до правої сторони (або навпаки, нижній рядок помістити зверху, а правий стовпець - зліва).
Зазначимо інше, наступне звідси властивість: якщо розташувати поруч два однакових квадрати те щоб вони мали спільна сторона, вийде своєрідний паркет, у якому числа, які у будь-якій групі клітин розміром 5x5, утворюють досконалий квадрат (рис. 1.6).
До речі, згадуваний раніше давньоіндійський квадрат також є досконалим.
Деякі магічні квадрати відрізняються симетричним малюнком. Розглянемо наступний квадрат 5-го порядку (рис. 1.7). Що цікавого можна помітити і розстановці чисел, що його утворюють? По-перше, парні та непарні числа розташовуються симетрично як відносноцентру квадрата, і щодо кожної з його осей симетрії.
* Можна сказати інакше; Число, що стоїть і центральній клітині квадрата, є середнє арифметичне будь-якої пари чисел з центрально-семеричних клітин.
По-друге, суми пар чисел, що займають центрально-симетричні клітини, однакові і вдвічі більші за число, що стоїть у центрі* (рис. 1.8).
І це невипадково. Натуральні числа 1, 2 ... 25 є членами арифметичної прогресії. Як відомо, суми членів, що рівно віддалені від кінців прогресії, рівні:
Але саме за цим принципом збудовано всі дванадцять пар чисел.
1 + 25 = 2 + 24 =. = 12 + 14 = 26 = n2 + 1.
Нарешті, число 13, що залишилося, - непарне і поміщається в центрі квадрата. Крім того, це єдине з двадцяти п'яти чисел, яке збігається з номером своєї клітини (якщо пронумерувати всі клітини по порядку рядково зверху вниз).
Аналогічні властивості мають таблиця Ло Шу і квадрат Дюрера. Взагалі квадрат, у якому будь-які два числа, розташовані симетрично щодо його центру, дають у сумі одне й те число, називається симетричним. (Причому неважливо, якого він порядку: парного чи непарного.) Неправильно було б говорити, що саме симетрія будівлі є основною ознакою магічного квадрата. Водночас вона часто визначає його властивості та широко використовується при побудові магічних квадратів.
Вкажемо, нарешті, ще одну цікаву особливість обраного для прикладу магічного квадрата. Всі п'ятірки чисел, що стоять на його «розламаних» діагоналях (рис. 1.9), є членами арифметичних прогресій з однією і тією ж різницею d=5, що збігається з порядком квадрата (до речі, їх суми мають таку ж властивість).