Математична основа обліку обсягу деревини

Управління освіти Прибайкальського району

Турунтаївська загальноосвітня середня школа №1

Математична основа обліку обсягу деревини

Наближені формули для визначення обсягів деревини стволів та їх частин

Таблиці обсягів деревних стволів

Визначення запасу насаджень. Облік запасу насаджень

Прибайкальський район, біля якого розташовані землі Прибайкальського сільського лісгоспу, багатий лісовими ресурсами. Загальна площа земель у Прибайкальському лісгоспі становить 55 591 га, з них 54 082 га вкриті рослинністю.

Щороку виникає потреба проводити всебічний облік запасів деревини.

Дії, спрямовані на облік лісу, визначення обсягів деревини називаютьлісовою таксацією.

Лісова таксація має справу з вимірами, що дають об'єктивну оцінку лісу, і при вирішенні своїх завдань широко застосовує методи математики. Різні математичні розрахунки та математичний аналіз, при багатьох графічних побудовах та вивченні отриманих кривих, використовуються методи аналітичної геометрії. У роботі я розглянула питання, пов'язані з обчисленням обсягів дерев.

При цьому можуть бути два випадки: перший, коли потрібно знайти обсяги зрубаного дерева, і другий, коли потрібно знайти обсяг дерева, що росте.

Визначити обсяг зрубаного дерева простіше, т.к. його можна безпосередньо виміряти на всьому його протязі. При знаходженні обсягу дерева, що росте, для встановлення його діаметрів на різній висоті доводиться застосовувати інші прийоми, т.к. зробити виміри безпосередньо на всьому протязі дерева, що росте, неможливо. У своїй роботі я провела математичне обґрунтування практичнихприйомів, застосовуваних щодо обсягів деревини з прикладу Прибайкальського сільського лісгоспу.

Також я розглянула питання про похибку вимірювань, що виникає при обчисленні обсягів дерев як зрубаних, так і зростаючих.

Наближені формули для визначення обсягів деревини стовбурів та їх частин

Дерево складається з коренів, стовбура та сучків, що утворюють крону. Найбільш цінною частиною дерева, частку якої припадає в середньому 60–85% його обсягу, є деревний стовбур. Форма деревних стволів дуже різноманітна. У дерев, що виросли в густому лісі, стовбур більш правильної форми, у одиночних дерев – зазвичай неправильної, при цьому у них сильно розвинена крона.

Якщо дерев'яний стовбур розрізати горизонтальною площиною, то в перерізі буде коло або еліпс.

Площі кіл, проти еліпсами, дають незначне перевищення, що з наступного.

При рівності a та b площі еліпса та кола рівні. У міру збільшення різниці між величинами a і b збільшуються також відмінності у площах.

Якщо деревний стовбур розрізати по серцевині вертикальною площиною, то в перерізі вийде фігура, обмежена кривою, яка розташована симетрично до вертикальної осі (Рис. 1).

При такому положенні ствол можна розглядати як тіло обертання, обмежене деякою кривою. Знаючи рівняння цієї кривої, можна було б визначити обсяг ствола. Численні дослідження кривих стовбура показали, що вони неправильні та непостійні. Рівняння, що точно визначає характер цієї кривої, досі не знайдено.

Утворююча дерев'яна стовбура - занадто складна крива, і розглядати ми її будемо як поєднання різнихкривих (рис. 3).

При обстеженні великої кількості стовбурів з'ясовується, що в нижній частині стовбура утворює зазвичай увігнуту форму, на більшій частині стовбура вона опукла і лише на коротких ділянках наближається до прямої.

Способи визначення обсягу стовбура ґрунтуються на застосуванні утворюючої стовбура, що характеризується рівнянням

В окремих деревних порід у різних частинах стовбура показник ступеня m змінюється від 0 до 3. Залежно від значення m рівняння приймають такий вигляд:

при m = 0 y 2 = A(2)

при m = 1 y 2 = Ax(3)

при m = 2 y 2 = Ax 2 (4)

при m = 3 y 2 = Ax 3 (5)

У першому випадку формула (2) – це рівняння прямої, паралельної осі абсцис. При обертанні її навколо осі абсцис утворюється циліндр. У другому випадку (3) – це рівняння параболи другого порядку. Тіло обертання, що виходить при цьому, називається параболоїдом другого порядку. У третьому випадку (4) – дві прямі, що перетинаються, при обертанні утворюють звичайний конус. І, нарешті, в останньому випадку (5) – це рівняння зветься рівняння параболи Нейля, а при обертанні кривої такого роду виходить нейлоїд.

Окремі частини стовбура наближаються до цих чотирьох геометричних форм: нижня – до нейлоїду, середня (окремі короткі відрізки) – до циліндра, вершинна – до конуса, а більшість – до параболоїда другого порядку.

Обчислення обсягів цих тіл відоме з курсу стереометрії.

Об'єм параболоїда дорівнює обсягу циліндра, що має з параболоїдом однакові основи і висоту, помноженому на коефіцієнт f0 = 1/(2r+1). Цей множник може бути близьким до одиниці або менше одиниці залежно від r. Множник f0 називають коефіцієнтом абсолютної форми.

Тіла обертання мають такі показники:

Напівубічний параболоїд……………………….1/3 3/5

Параболоїд Апполона……………………………….1/2 1/2

Кубічний параболоїд……………………………..2/3 3/7

Значення r обчислюються за формулою

де y2 та y1 – ординати точок кривої; x2 та x1 – відповідні абсциси.

У деревних стволів найчастіше r варіює від 8,51 до 0,55, що відповідає значенню f0 від 0,49 до 0,45.

Великий український вчений Д.І. Менделєєв для визначення обсягів стовбурів застосував рівняння кубічної параболи, що характеризує утворює деревного стовбура:

g = A+Bx+Cx 2 +Dx 3 , (6)

де g – площа перерізу; x – відстань від шийки кореня до місця виміру діаметрів; A, B, C, D – деякі постійні коефіцієнти.

По діаметрах у різних перерізах, що визначаються за наведеними вище рівняннями, можуть бути знайдені площі поперечних перерізів деревних стволів за такою формулою (6). Визначивши площі поперечних перерізів стволів, легко знайти об'єм ствола або його частини. Цей обсяг можна розглядати як суму нескінченно тонких поперечних відрізків, що мають висоту dx та площу основи g.

Первинною дляx n, буде функція

Для визначення обсягу ствола або його частини спочатку можна обмежитися двома членами підінтегрального виразу. В цьому випадку

Для знаходження коефіцієнтівАіВберуть два конкретні перерізи:g0- біля основи стовбура іgL- на відстаніLвід шийки кореня і становлять два рівняння, що визначають площі цих перерізів:

Вирішуючи останнє рівняння щодо В, отримаємо

Підставивши у формулу (11) замість A і B обчислені значення цих коефіцієнтів і замість x дорівнює йому величину L, отримаємо

Ця формула називається простою формулою Смаліана.

Візьмемо однепоперечний переріз на половині цілого стовбура чи його частини, а другий – у тонкому кінці. Розташування першого перерізу визначається величиноюL/2, а другого - на відстаніLвід основи стовбура. Позначивши перший перетин черезgL/2,а другийgL, можна написати

Обидві частини першого рівняння збільшимо у 2 рази:

З першого рівняння віднімемо друге

Замінивши у другому рівнянні величину A виразом

Підставимо знайдені значення A та B в основну формулу (11)

Замінивши x через L, отримаємо

Позначимо поперечний переріз на половині стовбура або його частини gL /2 грецькою буквою γ (гама), тоді формула набуде наступного вигляду:

---