Математичні моделі аналітичного типу
Найпростіші аналітичні моделі можуть бути явно задані у вигляді функції однієї або декількох змінних. Зазвичай як функцій задаються загальні закони природи чи загальні закономірності, отримані внаслідок інтегрування диференціальних рівнянь. Прикладом такої моделі може бути знаменита формула К.Е. Ціолковського:
,
визначальна збільшення швидкості ракети при імпульсному спалюванні палива через швидкість закінчення робочого тіла і відношення початковоїМ0і кінцевоїMкмас ракети.
Розглянемо кінематичну модель кривошипно-шатунного механізму, наведеного малюнку:
Схема кривошипно-шатунного механізму
Для кінематичного аналізу цього механізму насамперед необхідно побудувати його кінематичну модель. Для цього замінюємо механізм його кінематичною схемою, де всі ланки замінені жорсткими зв'язками. Користуючись цією схемою, виводимо рівняння руху механізмуSc. Диференціюючи останнє, отримуємо рівняння швидкостіVcі прискоренняac, які є диференціальні рівняння 1-го і 2-го порядку.
Запишемо ці рівняння:
Sc=g(1-cosj+/2sin 2 j)
ac = (d 2 j/dt 2 ) g (cosj+l cos2j),
r – радіус кривошипу AB,
l – довжина шатуна BC,
j-кут повороту кривошипа.
Отримані трансцендентні рівняння представляють математичну модель руху плоского аксіального кривошипно-шатунного механізму, засновану на наступних припущеннях, що спрощують:
нас не цікавили конструктивні форми та розташування мас, що входять до механізму тіл, і всі тіла механізму ми замінили відрізками прямих. Насправді всі ланки механізму мають масу і досить складну форму;
при побудовіматематичної моделі руху аналізованого механізму ми також не враховували пружність які входять у механізм тіл, тобто. всі ланки розглядали як абстрактні абсолютно тверді тіла. Насправді ж, всі ті тіла, що входять у механізм – пружні тіла;
ми не зважали на похибку виготовлення ланок, зазори в кінематичних парах A, B, C і т.д.
Розглянемо інший приклад – рух вантажу, закріпленого на пружині.
Відповідно до принципу Даламбера сума всіх сил, що діють на вантаж, повинна дорівнювати нулю:
Початкові умови характеризують початкове положення та початкову швидкість вантажу:x(0) =x0 іx'(0) =x'0. Рівняння разом із початковими умовами є математичну модель аналізованої механічної системи.
Емпіричні математичні моделі
Об'єкт ідентифікації являє собою так звану «чорну скриньку» з деяким числом регульованих або принаймні вимірюваних входів і одним або декількома виходами, що спостерігаються (вимірюються).
x
Завданням ідентифікаціїє побудова моделі об'єкта за результатами спостережень його реакцію обурення довкілля. При цьому необхідно враховувати помилки, що виникають під час вимірювання характеристик об'єкта.
Потрібно побудувати залежність (модель)W=f(x), яка описує характеристики системи, що вивчається.Це рівняння називаєтьсярівнянням регресіїі описує поверхню відгуку, що характеризує емпіричну модель. Зазвичай передбачається, що експериментальні дані дають достатньо інформації для відтворення математичного опису об'єкта.
При цьому на практиці може зустрітися два випадки:
1) Форма математичної моделі відома заздалегідь, а завдання ідентифікації зводиться визначення коефіцієнтів цієї моделі.
2) Форма математичної моделі наперед невідома. У цьому випадку для ідентифікації моделі використовуються відрізки нескінченних рядів, а завдання полягає у визначенні числа членів ряду та коефіцієнтів при цих членах.
Модель може бути представлена у вигляді
Конкретний вид моделі залежить від вибору функційfq(x), за якими проводиться розкладанняW.Сама постановка задачі ідентифікації включає в себе елемент невизначеності, можливість множинності рішень. Важливо вибрати найкраще або принаймні досить хороше з цих рішень. Для оцінки точності моделі природно використовувати величини відхилень, отриманих в експерименті величинWjі їх оцінокWmj, передбачених моделлюej=Wj–Wmj.