Математичні моделі прийняття рішень в економіці - Розен В
Лекція 8. Прийняття рішень в умовах невизначеності
• Математична модель завдання ухвалення рішення в умовах невизначеності. Приклад: Оренда готелю. • Принцип домінування стратегії. Методи аналізу ЗПР в умовах невизначеності на основі запровадження гіпотези про поведінку середовища. • Критерії Лапласа, Вал'да, Гурвіца та Севіджа. • Завдання 11. Вибір проекту електростанції.
1. Як вказувалося в лекції 1, реалізаційна структура завдання прийняття рішення включає безліч допустимих альтернатив X, безліч станів середовища Y, безліч результатів А і функцію реалізації F : X х Y - & gt; А. Прийняття рішення за умов невизначеності характеризується тим, що з виборі альтернативи приймаючому рішення невідомо готівковий стан середовища проживання і немає інформації про ймовірності їх появи. Зазначимо, що ця невизначеність не є абсолютною, тому що приймає рішення відомі безліч можливих станів середовища (множина У) та функція реалізації F.
Отже, математична модель ЗПР в умовах невизначеності може бути задана у вигляді наступної трійки об'єктів:
де X - безліч допустимих альтернатив, Y - безліч можливих станів середовища, / : ХхУ-8 - цільова функція.
Фактично побудова такої математичної моделі прийняття рішення зводиться до завдання цільової функції, визначеної на множині X х Y і приймає числові значення.
Розглянемо приклад побудови математичної моделі ЗПР за умов невизначеності.
Витрати, які не залежать від вибору проекту готелю:
а) благоустрій території – 10 тис. грошових од.;
в) один нічний черговий - 6 тис. грошових од.;
г) один службовець для прибирання території - 8 тис. грошових од.
Витрати, що залежать від числа кімнатготелю:
а) меблювання однієї кімнати - 2 тис. грошових од.;
б) 1 покоївка на 10 кімнат - 6 тис. грошових од.;
г) страхування на випадок пожежі для однієї кімнати – 25 грошових од.
Витрати, що залежать від числа зайнятих кімнат:
а) прання, прибирання-25 грошових од.;
б) електрика, газ, вода - 25 грошових од.
Дохід підприємця становить 200 грошових од. на день з кожної зайнятої кімнати. Яке рішення має ухвалити підприємець?
Побудуємо математичну модель завдання ухвалення рішення. Альтернативами тут є типи готелів, тому як безліч альтернатив можна взяти X = .
В даному випадку (відповідно до викладеного у п. 3 лекції 1) середовище — це те, що визначає при кожній фіксованій альтернативі появу конкретного результату (результату). У цьому завдання як результат можна розглядати прибуток, яку отримає підприємець протягом року оренди готелю. При фіксованій альтернативі х Є X його прибуток повністю визначається середнім числом у зайнятих кімнат (тобто як єдиний параметр, що характеризує стан середовища, тут виступає середньорічний попит). Тому як безліч станів середовища в даній задачі можна взяти Y - . Цільова функція / має тут наступний змістовний зміст: / (ж, у) - це прибуток, який отримає підприємець за рік у ситуації, коли він орендує готель з х кімнат, а середньорічний попит дорівнює. Знайдемо цільову функцію f(x, у) у явному вигляді.
Витрати, які не залежать від вибору проекту готелю, становлять
10000 + 1500 + 6000 + 8000 = 25500 (грошових од.)
Витрати, що залежать від кількості кімнат готелю, рівні
2 000 x + 600 x + 150 x + 25 x = 2775 x (грошових од.)
Витрати, що залежать від числа узайнятих кімнат, такі:
365 (25 у + 25 у) = 18 250т / (грошових од.)
Дохід підприємця визначається числом у зайнятих кімнат і становить рік
365 • 200 у = 73 000 у (грошових од.)
Звідси прибуток підприємця протягом року у ситуації (х, у) дорівнює
73 000 у - (2775 х + 18 250 у + 25 500) =
= 54 750 у - 2775 х - 25 500 (грошових од.)
Отже, цільова функція для даної задачі прийняття рішення така
Методи аналізу ЗПР за умов невизначеності розглянуто у наступних двох пунктах
2. Основна складність при прийнятті рішення в умовах невизначеності полягає в тому, що, вибираючи одну з допустимих альтернатив, приймає рішення не знає наявного стану середовища, в той же час, вихід залежить від того, в якому стані знаходиться середовище Формально, цільова функція f
 |
• Приклад 8.2. Розглянемо ЗПР за умов невизначеності, цільова функція якої задана табл 8 2 Вибір якої альтернативи слід вважати оптимальним?
Щоб відповісти на поставлене запитання, требамати певний спосіб порівняння двох альтернатив Найбільш простий і природний принцип, за яким можна порівняти дві альтернативи, - це принцип домінування, який полягає в наступному кажуть, що альтернатива г і домінує альтернативу г2 (записують г і > г2), якщо за будь-якого стану середовища виграш приймаючого рішення при виборі ним альтернативи і не менше, ніж його виграш при виборі альтернативи г2 (тобто виконується умова а3 > а3г2 при всіх J = hm)
Якщо і > г2, то альтернатива i називається домінуючою, а альтернатива г2 — домінованою Незалежно від стану середовища домінуюча альтернатива є не менш кращою для приймаючого рішення, ніж домінована альтернатива, тому доміновану альтернативу можна виключити з подальшого розгляду. Принцип домінування полягає у відкиданні домінованих альтернатив
У прикладі 8 2 маємо 4 > 5, 3 > 1, та інших пар, що знаходяться у відношенні домінування, немає Тому, виключаючи доміновані альтернативи 1 і 5 (те викреслюючи в табл 8 2 рядки з номерами 1 і 5), отримуємо ЗПР, в якій всі альтернативи не порівняні по відношенню домінування Для того щоб вибрати з альтернатив, що залишилися оптимальну, потрібні якісь додаткові міркування
Зауваження Порівняння альтернатив щодо домінування > аналогічно порівнянню результатів багатокритеріальної ЗПР щодо Парето-домінування (див. лекцію 5) Основна відмінність тут в інтерпретації для ЗПР в умовах невизначеності номера стовпців відповідають станам середовища, а для багатокритеріальної ЗПР вони відповідають критеріям
Основний метод, що дозволяє знайти оптимальну альтернативу в ЗПР в умовах невизначеності, полягає в наступному
формулюється деяка гіпотеза про поведінку середовища,що дозволяє дати кожній альтернативі єдину числову оцінку
Завдання числової оцінки для кожної альтернативи дає критерій для порівняння альтернатив за перевагою з двох альтернатив кращою вважається та, яка має велику числову оцінку (альтернативи, що мають однакові оцінки, вважаються еквівалентними) Тоді оптимальною буде та альтернатива, яка є найбільш кращою, тобто найбільшою. числову оцінку (для випадку функції втрат — найменшу чи_ лову оцінку).
3. Розглянемо найважливіші типи критеріїв, які використовуються завдань прийняття рішень за умов невизначеності.
Критерій Лапласа заснований на гіпотезі рівноможливості (рівноймовірності) і змістовно може бути сформульований у вигляді: «Оскільки ми нічого не знаємо про стани середовища, треба вважати їх рівноймовірними». При прийнятті цієї гіпотези в якості оцінки г-ї альтернативи виступає середньоарифметичне виграшів, що стоять у рядку матриці виграшів. Таким чином, оцінка за критерієм Лапласа має вигляд
При введенні оцінки Лапласа будь-які дві альтернативи будуть порівнянними між собою за перевагою: найкращою вважається та альтернатива, яка має велику оцінку за критерієм Лапласа.
Оптимальною за критерієм Лапласа є альтернатива г*, яка максимізує оцінку (8.2):
р L(2). Однак величина виграшів для альтернативи 1 розподілена вкрай нерівномірно, тому при виборі альтернативи 1 приймає рішення ризикує нічого не отримати; в той же час при виборі альтернативи 2 він має гарантований виграш, що дорівнює 9, 9.
Критерій Вальда заснований на гіпотезі антагонізму, яка може бути сформульована в наступному вигляді: "При виборі рішення треба розраховувати на найгірший можливий варіант" -
Приприйнятті цієї гіпотези оцінкою альтернативи і служить число W[i) = mina^ і порівняння будь-яких двох альтернатив
провадиться за величиною критерію W_. Оптимальною у разі є альтернатива, максимізує функцію W, тобто. альтернатива і*, для якої виконується умова
W(i*) = max.W(i) = maxmina;?. (8-3)
Альтернатива г* називається максимінною, а число шахтіпа^
називається максиміном. Принцип оптимальності, яким оптимальною альтернативою вважається максиминна альтернатива, називається принципом максимина.
Змістовний зміст принципу максиміну складається з наступного. Число W_(i) характеризує гарантований рівень альтернативи і (оскільки при виборі альтернативи г виграш приймаючого рішення — незалежно від стану середовища — не може бути меншим, ніж W_(i)). Таким чином, принцип максиміну заснований на макісимізації мінімального можливого (тобто гарантованого) виграшу; тому іноді цей принцип називають принципом максимального гарантованого результату.
Насправді використання принципу максимина пов'язані з психологічними особливостями приймаючого рішення, точніше, з його ставленням до невизначеності. Розрахунок на найгірший варіант властивий вкрай обережним людям («песимістам»).
Зауваження. Якщо цільова функція є функцією втрат, Tq відповідно до гіпотези антагонізму, оцінкою альтернативи гє-
ється число W(i) = max a3t. Альтернатива, що мінімізує функцію
і ' тобто. альтернатива і0, для якої виконується умова
W(i°) = minW(i) = minmaxa^,
називається мінімаксною, а число min max а - мінімаксом. В цьому
У разі принцип максиміну трансформується в принцип мінімаксу, за яким оптимальною альтернативою буде мінімаксна альтернатива. Змістовно принцип мінімакс є принцип мінімізації максимальних можливих втрат.
Критерій Гурвіда пов'язаний із запровадженням показника Про 4/5 оптимальною є альтернатива А2. Зокрема, при а = 1 оптимальною виходить максиминна альтернатива А2.
Для того щоб застосувати мінімаксний критерій до матриці ризиків, додамо до неї праворуч стовпець малих максимумів; кожен елемент цього стовпця вказує найбільший ризик (найбільше «жаль») при виборі відповідної альтернативи. З табл. 8.10 видно, що оптимальними за критерієм Севіджа є альтернативи Ai, A3, А4: вони мінімізують максимальне "жаль", пов'язане з незнанням справжнього стану середовища.
Примітка. У цьому задачі альтернатива А4 домінує альтернативу Ai, тому альтернатива А може бути одразу виключена з Подальшого розгляду