Математичні очікування та дисперсії стандартних розподілів
Математичне очікування та дисперсію цього розподілу ми знаємо з властивостей (E2) та (D3) : , .
Використовуємо властивість стійкості біномного розподілу щодо підсумовування. Візьмемо на якомусь імовірнісному просторі незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі. Тоді їх сума має розподіл, і за якістю(E4)маємо:
А оскільки незалежні, і дисперсія кожній дорівнює , то
Обчислимо так званий «другий факторіальний момент»:
Знайдемо дисперсію через другий факторіальний момент:
Моменти вищих порядків легко перебувають через факторіальні моменти порядку. Так, другий факторіальний момент дорівнює
Обчислимо перші два моменти:
оскільки під інтегралом стоїть непарна функція. Далі,
Ми щойно вирахували , . Тоді (над кожною рівністю підписати, яким властивостям воно зобов'язане)
Знайдемо для довільного моменту порядку.
В останній рівності ми скористалися гамма-функцією Ейлера:
Математичне очікування розподілу Коші немає, оскільки розходиться інтеграл
Розходиться він через те, що підінтегральна функція поводиться на нескінченності як . Тому немає ні дисперсія, ні моменти вищих порядків цього розподілу. Те саме можна сказати про розподіл Коші.
У розподілу Парето існують лише моменти порядку, оскільки
сходиться при , коли підінтегральна функція на нескінченності поводиться як де .