Мета-нульова математика

Фрагмент метанульової математики МСФ,

достатній для розуміння наукової парадигми МСФ

МАТЕМАТИКА

Історія математики йде у глибини століть. Оскільки математика в метасистемної філософії (МСФ) сприймається як методологія виміру філософії, корисно простежити як методологія розвивалася разом із філософією. Як саме виникло найголовніше поняття фінітної математики – число. Початкові потреби людини (а, отже, та її філософії) були прості. Нічого дивного у цьому немає. Кількість їжі, землі, багатства, грошей завжди було з добробутом людей. Поняття числа виявилося дуже зручним для оцінки та порівняння всього цього. Більше того, у понятті "число" важко знайти якийсь інший зміст, ніж "кількість у його чистому вигляді". І це найпростіше вимір буття, саме поняття числового континууму, лягло основою найпростішої математики. У ньому немає жодних натяків на ті конкретні об'єкти, до яких таку кількісну оцінку можна застосувати. Тому поняття "число" виявилося корисним і при описі нових предметів та явищ, з якими стикалося людство у ході свого розвитку.

Але з розвитком тезаурусу людства (зокрема і наукового) ця абстрактність числа, його " відірваність " від будь-якого конкретного фізичного змісту, що зіграла значної ролі й у розвитку самої фінітної математики (адже щоб досліджувати математичні властивості чисел, потрібна - за великим рахунком – лише світлаголова) вичерпавши всі можливості, довела фінітну математику до логічного кризи.

Більшість найсерйозніших проблем фінітної математики пов'язані з грандіозною загадкою науки – опис життя Землі. Фінітні (точні) математичні методи виявилися малопридатними для виведення формул, що описують живу речовину. І ці проблеми стали продовженням переваг основного поняття математики - числа. Та сама відірваність числа від реального фізичного змісту, яка допомогла розвитку математики, тепер зіграла злий жарт. Містки між математичними абстракціями та реальністю виявилися настільки тонкими та хиткіми, що пройти по них вдається небагатьом. У чому ж корінь зла? Як зблизити математику і реальність, зберігши при цьому і точність першої, і все живе різноманіття навколишнього світу?

Відповідь майже очевидна: треба замінити те саме зерно, з якого виросла математика. Тобто замінити її основний об'єкт - число, зробивши його більш реальним, більш "речовим". І спробувати виростити нове дерево, використовуючи самі прийоми і методи, які людство видобуло і багаторазово використовувало тієї ж фінітної математики. Зокрема, використовувати математичний апарат для такого “вирощування” під назвою “теорією алгоритмів”.

Апарат теорії алгоритмів дозволяє працювати не лише з числами, а й з об'єктами будь-якої іншої природи. Наприклад, це можуть бути деякі аналоги атомів або молекул, або просто кубики простору, або ще щось. Важливо лише правильно вибрати вихідний набір елементів, з яких ви маєте намір будувати свої конструкції. І чітко визначити операції з них.

Так ось в обґрунтуванні цього «правильного» і закладено алгоритм обґрунтування самої математики. Адекватна формалізація самої математики в МСФ дозволяєадекватно формалізувати і саме Метаматематику та всі приватні фінітні математики у системі аксіом Метаматематики. Подібно до того, як у фінітній математиці визначаються операції додавання, віднімання, порівняння, множення тощо. у метасистемної філософії із видів лише двох арифметичних операцій: «декомпозиції» (отримання зі складного – простого) і «композиції» (отримання із простих – складного) виходить якийсь набір "первинних" (базових) арифметичних операцій та правил гри з ними. Говорячи МСФ – генерується формальна метанульова математика у складі Метаматематика. А далі відбуваються дуже цікаві речі.

Виявилося, що багато теорем формальної Метаматематики мають глибокий філософський зміст! Проте несподіваним це не було. Адже формальна метаматематика за визначенням має справу з реальними речами, на відміну від фінітної математики. І те, що закони цього реальнішого світу мають філософський сенс, цілком закономірно.

Далі - швидко з'ясувалося, що різні метанульові математики легко поділяються на чотири великі групи. Найпростіша з них нульова математика не становить інтересу, оскільки в ній неможливо отримати щось нове. Наступна за складністю, названа креативною, дозволяє це робити кінцеве число разів. Найцікавішими виявились дві останні групи: нескінченно-креативних та еволюційних математик. У нескінченно-креативних математиках нові об'єкти можна отримувати нескінченно. У еволюційних, крім того, можна ще й визначати новизну таких об'єктів засобами самої математики. Так ось – фінітна математика опинилася у групі нескінченно-креативних математиків. Причому з усіх можливих – найпростіший! Практично в будь-якій іншій нескінченно-креативної математики можна виділити її частину, рівну за своєю виразністюфінітної математики. З іншого боку - практично всі реальні математики, що використовуються людиною, також потрапляють у цю групу.

Цей факт добре пояснює, чому фінітна математика успішно використовується у всіх "людських" технологіях. З одного боку - вона подібна до всіх таких математиків. З іншого - найпростіша з них і, отже, найкомфортніша у повсякденному застосуванні. Висловлюючись мовою самої математики, дозволяє односпрямовано (гомоморфно) відображати закони реальних математик у фінітних математичних формулах. Але тільки односпрямовано! Тобто від реальної математики – до фінітної математики. Зворотне відображення є неоднозначним і вимагає великої акуратності. Інакше не уникнути помилок. Яких, як знаємо, історія науки було чимало.

Набагато ширше прірва між нескінченно-креативними та еволюційними математиками. Проведений аналіз показує, що останні влаштовані у кілька тисяч разів важче, ніж перші. Звідси майже повне безсилля фінітної математики в описах еволюційних процесів. Метамататика дозволяє подолати ці труднощі. Розроблені в ній моделі біоподібних технологій виявились дуже схожими на те, що існує у природі. Але найбільш вражаючим фактом виявилася швидкість еволюції. З'ясувалося, що в деяких випадках вона може повністю видозмінити систему з десятків тисяч елементів за кілька років. При цьому нова система буде, природно, набагато кращою і ефективнішою за стару. Тому немає нічого дивного ні в досконалості та різноманітті життя, ні в самому факті його появи. Усе це - з погляду еволюційних математиків - цілком закономірно.

Метаматематика дає змогу адекватно досліджувати процеси пізнання. Багато добре відомих теорем фінітної математики придбали в їїсвітлі зовсім інший зміст. Так, теорема Мінського про обчислювальну машину з двома лічильниками виявилася теоремою необхідність пам'яті в процесах пізнання. Знаменита теза Черча стала стверджувати принципову розв'язаність усіх коректних технічних завдань. А "незручні" випадкові процеси виявилися дуже зручними для багатьох пізнавальних алгоритмів. У тому числі і для тих, що реалізуються Природою, більше того, саме випадковість гарантує їхню повноцінність, їхню достовірність. Підтвердилася і шкода будь-яких заборон на пізнавальну діяльність. У багатьох випадках вони виявилися малоефективними. І у всіх випадках – гальмували розвиток (еволюцію) системи. Понад те, під час доказу низки теорем з'ясувалося, що у пізнанні слід спиратися щось, що ми звикли називати свободою волі, свободою вибору!

На закінчення – цікавий історичний факт. На те, що існуюча математика ще не вся математика, вперше звернув увагу Олександр Богданов. Той самий, якого Ленін дуже виразно критикував за його філософські погляди.