Методи зважених нев’язок

Вивчивши один метод відносно докладно, переходимо до викладу інших методів цілими класами. Найпоширенішим класом є методи виважених нев'язок. Вони виходять із припущення, що потрібну функцію можна представити у вигляді функціонального ряду, наприклад такого:

Функцію f0 зазвичай намагаються вибирати так, щоб вона максимально точно (якщо можливо) задовольняла початковим і граничним умовам. Апроксимуючі (пробні) функції fj передбачаються відомими. Математики вигадували кілька вимог до таких функцій, але їх тут обговорювати не будемо. Обмежимося фактом, що поліноми та тригонометричні функції цим вимогам задовольняють. Ще кілька прикладів наборів подібних функцій буде розглянуто під час опису конкретних методів.

Коефіцієнти aj заздалегідь невідомі, і їх слід визначати із системи рівнянь, що отримується із вихідного рівняння. Від нескінченного ряду беруть лише кілька кінцевих членів.

У рівнянні, яке передбачається вирішити, усі члени листуються у ліву частину, у правій частині залишається лише нуль. Таким чином, рівняння наводиться до виду

Якщо наближене рішення (записане у вигляді кінцевої суми заздалегідь обраних функцій) підставити на це рівняння, то воно не буде тотожно задовольнятися. Отже, можна записати

де величина R називається нев'язкою. У випадку невязка є функцією x, y, z і t. Завдання зводиться до знаходження таких коефіцієнтів aj, щоб нев'язка залишалася малою у всій розрахунковій області. Під поняттям «малої» у цих методах розуміють, що інтеграли по розрахунковій області від нев'язки, помноженої деякі вагові функції, рівні нулю. Тобто

Задавши кінцеву кількість вагових функцій, отримуємо систему рівнянь для знаходженняневідомих коефіцієнтів. Задаючи різні пробні апроксимуючі (пробні) та різні вагові функції, легко отримуємо цілий клас методів, який називають методами зважених нев'язок.

Наведемо кілька прикладів найпростіших методів із цього класу.

Метод підобластей. Розрахункова область поділяється на кілька підобластей Dm, які можуть перекривати один одного. Вагову функцію задають у вигляді

Таким чином, забезпечується рівність нуля інтеграла від нев'язки з кожної підобласті. Метод послужив основою для низки методів (один із них буде розглянуто нижче).

Метод колокацій. Як вагові функції використовуються дельта-функція Дірака

де x= (x, y, z). Нагадую, що функція Дірака – це хитра функція [8], що дорівнює нулю скрізь, крім початку координат. Але на початку вона набуває невідомої науки значення таке, що будь-який інтеграл по області, що містить початок координат, дорівнює одиниці. Говорячи простіше: задаємо кілька точок (часто в цьому підході званих вузлами). Вихідне рівняння задовольнятиметься у цих точках. Існують підходи до вибору цих точок та пробних функцій, що дозволяють максимізувати точність при обмеженій кількості вузлів. Але тут їх обговорювати не будемо.

Метод найменших квадратів. Метод заснований на мінімізації величини

Але неважко показати, що він також належить до класу методів зважених нев'язок. Ваговими функціями для нього є функції виду

Мабуть, це найвідоміший серед нефахівців метод із даного класу, але далеко не найпопулярніший у фахівців.

Метод Галеркіна. У цьому методі як вагові функції беруться апроксимуючі (пробні) функції. Тобто

Метод широко використовується у випадках, коли хочуть знайти рішення у виглядібезперервної (а не сіткової) функції.

Розглянемо застосування цих методів для розрахунку деформації консольно закріпленої балки довжиною L. Нехай відхилення від осьової лінії описується рівнянням

Граничні умови поставлені у вигляді

Шукатимемо рішення у вигляді

Тоді нев'язка записуватиметься у вигляді

Для знаходження невідомих коефіцієнтів a і b нам потрібно скласти систему із двох рівнянь. Зробимо це всіма розглянутими методами.

Метод колокацій. Вибираємо дві точки на кінцях балки. Прирівнюємо в них нев'язку до нуля

Як бачимо, метод колокацій досить простий у реалізації, проте поступається за точністю до інших методів.

Метод підобластей. Розбиваємо всю довжину балки на дві підобласті. У кожному їх інтеграл від невязки прирівнюємо до нуля.

Метод Галеркіна. Беремо інтеграли від нев'язки, помноженої на пробні функції.

Метод найменших квадратів.

p align="justify"> Метод найменших квадратів вимагає найбільших обчислювальних витрат, не даючи при цьому помітного виграшу в точності. Тому він рідко застосовується у вирішенні практичних завдань.

---