Метрика простору-часу - Світ прекрасний
Схематичне двовимірне зображення викривлення простору-часу біля масивного тілаМетрика простору-часу– 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності. Позначається здебільшогоg i j.В інерційній системі відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд
У неінерційних системах відліку вид метрики простору-часу змінюється і взагалі залежить від точки простору та моменту часу. Метрика простору-часу визначає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, який рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність пов'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає викривлення простору в полі масивних тіл. Простір-час виражається через метрику простору-часу формулі
.
Оскільки метрика задає перетворення координат, її називають також метричним тензором. Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними та контраваріантними записами будь-якого 4-вектора
.
Метричний тензор симетричний щодо своїх індексів, тобтоg i j=g j i.Це видно із загальної формули для квадрата диференціала просторово-часового интрервалу. Детермінант метрики місця часу, що позначається g, негативний. Контраваріантна форма метричного тензора пов'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку
,
деe i j k l– звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений інерційної системі відліку, тобто. тензор,компоненти якого дорівнюють 1 або -1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів. Таким чином
Метричний тензор, як і будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Однак ця операція справедлива лише у певній точці простору-часу, і, у загальному випадку, не може бути проведена для всього простору-часу. Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює
де c – швидкість світла у вакуумі. Величину
називаютьвласним часомдля цієї точки простору. Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками задається формулою
Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише за просторовими координатами. Тензор? ?? є метричним тензором для тривимірного простору. Інтегрувати певну таким чином відстань не можна, оскільки результат залежав би від світової лінії, якою велося б інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття відстані між далекими об'єктами у тривимірному просторі немає сенсу. Єдиний виняток - ситуація, в якій метричний тензорg i jне залежить від часу.