Моделювання у стереометрії Побудова перерізів – презентація з Геометрії
Моделювання у стереометрії Побудова перерізів
Теорема: Якщо дві непаралельні прямі, що належать до однієї площини, перетинають пряму, що не лежить у цій площині, то всі три прямі перетинаються разом в одній точці.
Метод слідів у завдання на побудову перерізів Розглянуті вище приклади перерізу тіл показують корисність продовження перерізів за межі об'єму фігур – трикутні форми, що їх виходять, роблять процедуру побудови більш ясною. У кресленні прямі, які утворюють такі трикутники називають слідами перерізу на відповідних площинах. Процедура знаходження перерізів об'ємних тіл за допомогою цих прямих називається методом слідів.
Завдання 1 Побудувати переріз трикутної піраміди SABC площиною, що проходить через точки P, Q, R, що лежать на ребрах SA, SB, AC.
Рішення. Для визначення сліду перерізу на площині основи піраміди SABC зауважимо, що одна його точка R задана за умовою задачі, а іншу точку U можна знайти за допомогою продовження відрізка PQ до перетину з прямою AB, яка належить основі ABC. З'єднавши точки U і R, отримаємо слід перерізу, перетин якого з ребром BC дає шукану вершину T чотирикутної плоскої фігури перерізу PRTQ.
Завдання 2 Побудувати переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через точки P, Q, R, що лежать на бічних ребрах SA, SB, SC.
Рішення Очевидно, необхідно визначити точки перетину площини перерізу з нижніми ребрами піраміди SABCD, тобто достатньо знайти слід перерізу на площині основи ABCD. Продовжуючи відрізки PQ і QR до перетину з прямими АВ і ВС, що належать площині ABCD, знайдемо точки V і U. З'єднавши ці точки, отримаємо слід площини перетину на межі ABCDпіраміди. Точки перетину T і W сліду зі сторонами основи ABCD і є шуканими вершинами перерізу піраміди ABCD.
Завдання 3 Побудувати переріз трикутної призми ABCDA1B1C1D1, що проходить через три задані точки M, O, N, що лежать на сусідніх ребрах АВ, ВВ1, В1С1.
Рішення: Очевидно, що пряма ОМ є слідом площини перерізу призми на її межі AA1ВB1. Точка S її перетин з продовженням ребра AA1 належить сліду площині перетин на межі AA1СC1. Щоб знайти іншу точку V цього сліду, продовжимо пряму ON до перетину з продовженням ребра СC1. З'єднавши ці точки, отримаємо лінію перерізу, що перетинає ребра грані AA1ВB1 у точках T та U. П'ятикутник MONUT – шуканий переріз.
Завдання 4 Побудувати перетин куба ABCDA1B1C1D1, що проходить через три точки P, Q, R, що лежать на сусідніх ребрах А1В1, В1С1, АА1.
Рішення: З'єднаємо точки P та Q, P і R між собою. Пряма РR є слідом площини перерізу куба на площині його грані AA1ВB1. Точки перетину U і S цього сліду з продовженнями ребер АВ та ВB1 є точками слідів перерізу на гранях ABCD та ВB1СС1. Так як точка Q теж належить грані ВB1СС1 знаходимо слід перерізу SТ на цій грані. З'єднавши точки Т та U, отримуємо третій слід перерізу на площині ABCD. Точки перетину знайдених трьох слідів з ребрами куба визначають його шестикутний перетин PRVWHQ.
Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через крапки: