Модуль безперервності, Математика, FANDOM powered by Wikia

Для будь-якої функції, визначеної на множині E, можна ввести поняттямодуля безперервностіцієї функції, що позначається $ \ omega_ ( \ delta) $ . Модуль безперервності теж функція, за визначенням, рівна:

або верхню грань коливань функції по всіх підвідрізках E довжиною менше δ. Також у літературі зустрічаються інші позначення $ \ omega (f, \ delta) $ і (рідше) $ \ omega (\ delta, f) $.

Зміст

Властивості модуля безперервності

Введена функція має низку цікавих властивостей.

  • За будь-якого δ вона неотрицательна (очевидно);
  • Функція не зменшується (також очевидно);
  • Функціянапівадитивна: $ \omega_(\delta_+\delta_)\leq\omega_(\delta_)+\omega_(\delta_) $ . Доведемо: $ \forall x_, x_ \in E (x_-x_\leq\delta_+\delta_)\Rightarrow(\exists x':(x'-x_\leq\delta_)\and(x_-x'\leq \delta_) $ .Тоді: f(x1)-f(x2) = f(x1)-f(x')+f(x')-f(x2) $ \leq $ f(x1)-f(x ')+f(x')-f(x2) $ \leq\omega_(\delta_)+\omega_(\delta_) $ , ч. т. д.
  • У точці 0 довизначимо модуль безперервності: $ \ omega_ (0) = 0 (def) $ .
  • Якщо функція f визначена на відрізку [a, b] і безперервна на ньому, то $ \lim_(\delta)>=0 $ (дана межа позначається також $ \omega_(+0) $ ), і навпаки.
  • Нехай $\omega_(+0) $=0; ми знаємо, що функція невід'ємна, а значить, $ (\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0\leq\omega_(\delta) Доведемо тепер зворотне твердження. Нехай f(x) безперервна на [a, b ].Тоді вона рівномірно безперервна на цьому відрізку, як каже нам теорема Кантора-Гейне.Запишемо це твердження у символьному вигляді:
$ \forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x_, x_ \in [a,b](x_-x_ Тоді, як було сказано у визначенні модулябезперервності, $ \omega_(\delta)=sup\)-f(x_):(x_, x_\in [a,b])\andx_-x_ Але, як ми щойно показали, :f(x1)-f (x2) $ \omega_(0)=0\leq\omega_(\delta')\leq\omega_(\delta) 0\exists\delta>0:(\delta'\in\dot_^( 0))\Rightarrow(\omega_(\delta')\in U_(0)) $ , Що за визначенням означає існування межі модуля безперервності в точці 0 праворуч, ч. т. д.
  • Якщо f(x) безперервна на [a, b], її модуль безперервності також безперервна функція на відрізку [0, b-a]. Доведемо це твердження. За щойно доведеною властивістю $ omega_(delta) $ безперервний у точці 0 праворуч. Візьмемо позитивне число h і, використовуючи властивості невід'ємності та напівадитивності, випишемо таку нерівність: $ 0\leq\omega_(\delta+h)-omega_(\delta)\leq\omega_(h) $ . При прагненні h до нуля справа крайні частини нерівності прагнуть нуля, отже, по 'теоремі двох міліціонерів', і середня частина (яка є прирощення функції при позитивному прирощенні аргументу) прагне нулю, тобто межа функції у точці справа дорівнює її значення в цій точці. Це означає безперервність праворуч у всіх точках [a, b]. Тепер, підставивши в нерівність δ1=δ-h, таким же чином отримаємо безперервність зліва і рівність лівих меж правим у кожній точці відрізка, що означає безперервність $ \omega_(\delta) $ на всьому відрізку.

Пов'язані поняття

Модуль безперервності виявився тонким інструментом дослідження різноманітних властивостей функції, таких як:

та багато інших.

Варіації та узагальнення

Модулі безперервності вищих порядків

Неважко помітити, що у визначенні модуля безперервності використовується кінцева різниця першого порядку від функції $f$.

Якщо замість кінцевої різниці першогопорядку взяти кінцеву різницю порядку $n$, то отримаємо визначення модуля безперервності порядку $n$. Звичайне позначення для таких модулів - $ \ omega_n (f, \ delta) $ .

Властивості

  1. Якщо $ k $ - ціле число, то $ \ omega_n (f, k \ delta) \ leqslant k^n \ omega_n (f, \ delta). $

Некласичні модулі безперервності

Відомо багато різних узагальнень поняття модуля безперервності. Наприклад, можна замінити оператор кінцевої різниці іншим різницевим оператором з довільними коефіцієнтами. Можна дозволити цим коефіцієнтам бути непостійними і змінюватись в залежності від точки, де береться цей оператор різниці. Можна дозволити і кроку, з яким береться оператор різниці також залежати від точки. Подібні "некласичні" модулі безперервності знаходять своє застосування у різних галузях сучасної математики.