Монте-Карло моделювання в Mathcad Express
Mathcad Express - це "легка" версія відомого пакету PTC Mathcad Prime, в якій більшість функціонала вимкнена. Тим не менш, датчики псевдовипадкових чисел залишаються доступними, що дозволяє реалізувати (досить швидко та наочно) різні статистичні моделі на основі алгоритмів Монте-Карло. Відразу зазначу, що деякі рішення будуть не найкращими, з погляду користувачів комерційної версії Mathcad Prime, проте вони гарантовано не виведуть нас за межі функціоналу безкоштовного Mathcad Express.
Нагадаю, що алгоритми Монте-Карло - це загальна назва групи чисельних методів, заснованих на програмному створенні певної послідовності псевдовипадкових чисел, що моделює той чи інший ефект, наприклад, послідовність відмов техніки. Отримавши велику кількість реалізацій випадкового процесу, можна сподіватися, що його ймовірнісні характеристики збігатимуться з аналогічними величинами розв'язуваної задачі «реального світу». Файл з подальшими розрахунками у форматах Mathcad та XPS лежить тут.
Частина 1. Як згенерувати вибірку псевдовипадкових чисел
У Mathcad Express доступний ряд генераторів псевдовипадкових чисел, що створюють вибірки псевдовипадкових даних із різними законами розподілу. Для створення вектора з N псевдовипадкових чисел потрібний лише один рядок Mathcad-документа. Наприклад, згенерувати N=5 псевдовипадкових чисел з нормальним розподілом (нульовим середнім та одиничною дисперсією) можна так:
Вектори випадкових чисел зручно візуалізувати на графіках так: одна вибірка (тобто компоненти одного з випадкових векторівT1) по осі абсцис, а інша вибірка (інший випадковий векторT2) – по осі ординат. На наступному малюнку наведено графіки пар псевдовипадкових чисел для експоненційного(ліворуч) та нормального (праворуч) розподілу. Параметри розподілу задаються у формулах над графіками.
На наступному малюнку показані аналогічні пари псевдовипадкових чисел G1 та G3 з нормальним розподілом та різною дисперсією (графік зліва) та прийом генерації корелюваних псевдовипадкових чисел G1 та G4 (графік праворуч).
Взагалі кажучи, в Mathcad Express є досить багато датчиків псевдовипадкових чисел:
- rnd(x) - рівномірний розподіл на інтервалі (0, x).
- rbeta(x,s1,s2) - бета-розподіл (s1,s2>0 - параметри, 0 0 - показник експоненти).
- rF(x,d1,d2) — розподіл Фішера (d1,d2>0 — числа ступенів свободи).
- rgamma(x,s) - гамма-розподіл (s>0 - параметр форми).
- rgeom(k,p) - геометричний розподіл (0
0 – натуральний логарифм середньо-квадратичного відхилення).
0 -середньоквадратичне відхилення).
Частина 2. Як виконати статистичні розрахунки
За найпростішими формулами статистики можна вважати вибіркові оцінки середніх значень, дисперсій та середньоквадратичних відхилень:
Аналогічно можна оцінити вибірковий коефіцієнт кореляції:
Приклад моделювання конверсії відвідувачів сайту за допомогою корельованих псевдовипадкових чисел я наводив у статті прокореляції та регресії.
Частина 3. Як побудувати гістограму
Наведемо простий рецепт для побудови графіка-гістограми. У комерційній версії Mathcad Prime підготовка даних для гістограми зводиться до застосування однієї вбудованої функції:
(До речі, для перелічених типів розподілів також передбачені вбудовані функції, як для густини ймовірності, так і функції розподілу, як це показано на прикладі гаусової псевдовипадкової вибірки). Щоб побудувати графік-гістограму в Mathcad Express, необхідно «вручну» розділити інтервал (a,b) , в який потрапляють дані, наMінтервалів і виконати нескладні математичні операції, доступні Mathcad Express (які, якщо читач зацікавиться, він знайде у документі з розрахунками).
Як приклад використовуємо псевдовипадкові дані з експоненційним розподілом (одне із практичних застосувань якого описано у колишній статті).
Насамкінець, зазначимо, що для гістограми слід вибрати відповідний тип графіка:
