Мультиплікативність функції, згортка Діріхле
Приклад [ред.]
Найпростішим прикладом такої функції є [math] \theta(a)=a^s[/math]
- [math] \theta(1) = 1^s = 1 [/math]
- [math]\theta(ab) = (ab)^s = a^sb^s = \theta(a)\theta(b) [/math]
Властивості мультиплікативних функцій [ред.]
- 1. З визначення випливає, що [math] \ theta (1) = 1 [/ math].
- Доказ:Дійсно, нехай [math] \theta(a_0) \ne 0[/math] , тоді [math] \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0) [/ Math] .
2. Якщо [math] \theta_1(a),\theta_2(a)[/math] - мультплікативні функції, то [math] \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) [/math] - також мультиплікативна.
Доказ:[math] \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1[/math] та умови визначення виконані.3. Нехай [math] \theta(a) [/math] - мультиплікативна функція і [math] a = ^ ^ \ldots ^[/math] - канонічне розкладання числаa, тоді позначаючи символом [math] ] \sum_[/math] - суму, поширену на всі дільникиdчислаa, маємо [math]\sum_ \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^))[/ math] (у разі [math] a=1 [/math] вважаємо праву частину рівної одиниці)
Доказ:Для доказу цієї властивості розглянемо праву частину тотожності. У ній буде сума доданків виду : [math] \theta(p_1^)\theta(p_2^)\ldots\theta(p_k^) = \theta(p_1^ p_2^ \ldots p_k^)[/math] , причому ні один такий доданок не буде пропущено, і жодне не повториться більше одного разу, а це якраз і є те, що стоїть у лівій частині.
Властивість.[math] (f*g) [/math] -мультплікативна.Доказ якості:[math] (m;n)= 1 \text <,(f*g)(mn) = \sum_ f(d)g(\frac) = \sum_ f(d_1 d_2)g(\frac) = [/math] [math] = \sum_ f(d_1) f(d_2)g(\frac) g(\frac) = (\sum_ f(d_1)g(\frac))*(\sum_ f(d_2)g(\frac)) [/math] ч.т.д.