Наближені числа та оцінка їх похибок

При чисельному розв'язанні задач доводиться оперувати двома видами чисел -точними танаближеними. Доточним відносяться числа, які дають справжнє значення досліджуваної величини. Донаближеним відносяться числа, близькі до істинного значення, причому ступінь близькості і визначаєтьсяпохибкою обчислень.

Результатами обчислень є, зазвичай, лише наближені числа. Тому для вказівки області невизначеності результату вводяться деякі спеціальні поняття, що широко використовуються при підготовці вихідних даних або оцінки похибки чисельних рішень.

Якщох– точне, взагалі кажучи, невідоме значення деякої величини, аа– його наближене значення, то різницях–аназиваєтьсяпомилкою, абопохибкою наближення. Часто знак помилких–аневідомий, тому використовується так званаабсолютна похибка D(Х) наближеного числаа, яка визначається рівністю

Чисельна величина, що вивчаєтьсяхіменована, тобто визначається у відповідних одиницях вимірювання, наприклад, в сантиметрах, кілограмах і т. п. Похибка (1.1) має ту ж розмірність.

Однак часто виникає необхідність замінити цю похибку на безрозмірну величину –відносну похибку. При цьому через незнання точного значення величини, що вивчається, прийнято називати відносною похибкою величину

. (1.3)

Відносну похибку часто виражають у відсотках: 100%. Вона можна порівняти в ідентичних експериментах, тобто характеризує якість виміру, а саме, точність результату краще характеризується його d(Х), тому що абсолютна похибка D(Х) недостатня, наприклад, для характеристики якості вимірювання двох стрижнівl1 = 100,8 ± 0,1 см іl2 = 5,2 ± 0,1 см. Очевидно, що якість вимірювання першого значно вищі.

У зв'язку з тим, що точне значеннях, як правило, невідомо, формули (1.1) – (1.3) носять суто теоретичний характер.

Для практичних цілей вводиться поняттяграничної похибки.Гранична абсолютна похибкаDа – це верхня оцінка модуля абсолютної похибки числах, тобто.

При довільному виборі Dазавжди прагнуть якимось чином взятинайменшим. Справжнє значення числахперебуватиме в інтервалі з межами (а– Dа) – з нестачею та (а+ D>а) - з надлишком, тобто.

Зазвичай для наближених чисел за результатами округлень як Dаприймають одиницю або 1/2 одиниці залишеного розряду числа. Першу умову називаютьпохибкоюу «широкому» значенні, друге - у «вузькому» значенні.

Приклад похибок у «вузькому» значенні:

а	51,7	-0,0031	16,00
Dа	0,05	0,00005	0,5	0,005

Гранична відносна похибка також може виражатися у відсотках. При локальних ручних розрахунках та на етапі підготовки вихідних даних існують певні правила оцінки граничних похибок дляарифметичних операцій:

;

;

;

;

;

;

де d - Відносна гранична похибка;m- раціональне число; D – гранична абсолютна похибка.

Слід зазначити, що наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі, якщо у запису цих чисел усі«значні » цифри «вірні ». Визначення цих понять розглянемо нижче.

---