Навчальний посібник Матриці
Основні питання лекції: загальні визначення пов'язані з поняттям матриці; дії над матрицями; визначники 2-го та 3-го порядків; визначники порядку n їх обчислення; властивості визначників; обернена матриці; ранг матриці.
Матрицею розміру mхn називається прямокутна таблиця чисел, що містить рядків m і n стовпців. Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці.
Матриці позначаються великими (великими) літерами латинського алфавіту, наприклад, A, B, C, ..., а для позначення елементів матриці використовуються малі літери з подвійноюіндексацією: aij , де i - номер рядка, j - номер стовпця:
, i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n
Матриця називається квадратною n - го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.
Елементи матриці aij, у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка (i=j), називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Для квадратної матриці головну діагональ утворюють елементи a11, a22, …, ann, а a1n, a2n-1, …, an1 – елементи додаткової діагоналі.
Види матриць: матриця (вектор) – рядок, матриця (вектор) – стовпчик, діагональна, одинична матриця.
Над матрицями, як і над числами, можна здійснювати низку операцій.
а) Множення матриці на число. Добутком матриці на число λ називається матриця В=λА, елементи якої bij =λaij для i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
Зокрема, добуток матриці на число 0 є нульова матриця, тобто. 0•А=О.
б) Додавання матриць. Сумою двох матриць А і однакового розміру mхn називається матриця С=А+В, елементи якої
З=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij), i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
(Тобто матриці складаються поелементно).
У окремому випадку А+0=А.
в) Множення матриць. Множення матриці А на матрицю визначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другий. Тоді твором матриць називається така матриця , кожен елемент якої сij дорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j - го стовпця матриці:
Транспонування матриці – перехід від матриці А до матриці А', у якій рядки та стовпці помінялися місцями із збереженням порядку. Матриця А' називається транспонованою щодо матриці А:
,
У літературі зустрічаються й інші позначення транспонованої матриці, наприклад Ат .
Зведення в ступінь. Цілим позитивним ступенем А m (m>1) квадратної матриці А називається добуток m матриць, рівних А, тобто.
А m =A*A*…*A (m>1)
Зауважимо, що операція зведення у ступінь визначається лише для квадратних матриць.
За визначенням вважають А0 = Е, А1 = А.
Слідом trА квадратної матриці А називається сума її діагональних елементів:
Матриця А-1, зворотна до квадратної матриці А, - така матриця, що
А -1 * А = А * А -1 = Е (Е - одинична матриця).
Необхідність запровадження визначника – числа, що характеризує квадратну матрицю А, – тісно пов'язані з рішенням систем лінійних рівнянь. Визначник матриці позначається det (A) або Δ.
Визначником матриці першого порядку А = (а11), або визначником першого порядку, називається елемент а11: Δ = А = а11. Наприклад, нехай А=(3), тоді Δ1 = А=3.
Визначник матриці другого порядку обчислюється за такою формулою:
Визначник матриці третього порядку обчислюється за правилом трикутника або за правилом Сарруса:
Мінором Mij елемента aij матриці n – го порядку називається визначник матриці (n-1) – гопорядку, отриманої з матриці А викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.
Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij матриці n - го порядку називається його мінор, взятий зі знаком (-1) i + j:
тобто. Додаток алгебри збігається з мінором, коли сума номерів рядка і стовпця (i+j) – парне число, і відрізняється від мінора знаком, коли (i+j) – непарне число.
Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх додатки алгебри:
Примітка. Визначник трикутної (і діагональної) матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
1. Якщо якийсь рядок (стовпець) матриці складається з одних нулів, то її визначник дорівнює 0.
2. Якщо всі елементи якогось рядка (стовпця) матриці помножити на число λ, то її визначник помножиться на це число λ.
3. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: А'=А.
4. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак протилежний.
5. Якщо квадратна матриця містить два однакові рядки (стовпці), то її визначник дорівнює 0.
6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, її визначник дорівнює 0.
7. Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на доповнення алгебри елементів іншого рядка (стовпця) цієї матриці дорівнює 0, тобто.
при i¹j
8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на те саме число.
9. Сума творів довільних чисел b1, b2, …, bn на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (стовпця) дорівнює визначникуматриці, отриманої з даної заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа b1, b2, …, bn.
10. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:
З = А *, де C = А * В; А та В-матриці n – го порядку.
Для вирішення та дослідження низки математичних та прикладних завдань важливе значення має поняття рангу матриці.
Визначення. РангомматриціА називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.
Ранг матриці Апозначається rang Аіліr(А).
Властивості рангу матриці:
1 0 . Ранг матриці Аmxn вбирається у меншого її розмірів, тобто. rang A≤min (m; n);
2 0 . г(А) = 0 і тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто. А = 0;
3 0 . Для квадратної матриці n-го порядку r(A)= n і тоді, коли матриця А – невироджена.
Назвемо елементарними перетвореннями матриці такі:
1) Відкидання нульового рядка (стовпця).
2) Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, що не дорівнює нулю.
3) Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.
4) Додаток до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.
5) Транспонування матриці.
Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.