Навіщо вводити поняття - Найбільший спільний дільник (НДК) - і - Найменше загальне кратне (НОК) -

Презентація до уроку

З поняттями найбільшого спільного дільника (НОД) та найменшого загального кратного (НОК) учні середньої школи зустрічаються в шостому класі. Ця тема завжди важка для засвоєння. Діти часто плутають ці поняття, не розуміють, навіщо їх треба вивчати. Останнім часом і в науково-популярній літературі зустрічаються окремі висловлювання про те, що цей матеріал слід виключити зі шкільної програми. Думаю, що це не зовсім правильно, і вивчати його потрібно якщо не на уроках, то у позаурочний час на заняттях шкільного компонента обов'язково, тому що це сприяє розвитку логічного мислення школярів, підвищенню швидкості обчислювальних операцій, вмінню вирішувати завдання красивими методами.

При вивченні теми "Складання та віднімання дробів з різними знаменниками" ми вчимо дітей знаходити спільний знаменник двох або більше чисел. Наприклад, потрібно скласти дроби 1/3 та 1/5. Учні легко знаходять число, що ділиться без залишку на 3 і 5 . Це число 15. Справді, якщо числа невеликі, їх загальний знаменник знайти легко, знаючи добре таблицю множення . Хтось із хлопців зауважує, що це число є добутком чисел 3 та 5. У дітей складається думка, що завжди таким чином можна знайти спільний знаменник для чисел. Наприклад віднімаємо дроби 7/18 і 5/24. Знайдемо добуток чисел 18 та 24 . Воно дорівнює 432. Отримали вже велике число, а якщо далі потрібно робити якісь обчислення (особливо це стосується прикладів на всі дії), то ймовірність помилки зростає. А ось знайдене найменше загальне кратне чисел (НОК), що в цьому випадку рівнозначно найменшому загальному знаменнику (НОЗ)-число 72 значно полегшитьобчислення і призведе до швидше рішення прикладу, а тим самим заощадить час, відведений на виконання даного завдання, що відіграє важливу роль при виконанні підсумкових тестових, контрольних робіт, особливо під час підсумкової атестації.

При вивченні теми "Скорочення дробів" можна рухатися послідовно ділячи чисельник і знаменник дробу на те саме натуральне число, використовуючи при цьому ознаки ділимості чисел, отримавши в кінцевому підсумку нескоротний дріб. Наприклад, потрібно скоротити дріб 128/344. Розділимо спочатку чисельник та знаменник дробу на число 2, отримаємо дріб 64/172. Ще раз поділимо чисельник та знаменник отриманого дробу на 2, отримаємо дріб 32/86. Поділити ще раз чисельник і знаменник дробу на 2 отримаємо нескоротний дріб 16/43. Але скорочення дробу можна виконати набагато простіше, якщо ми знайдемо найбільший загальний дільник чисел 128 і 344. НОД(128, 344) = 8. Розділивши чисельник і знаменник дробу на це число, отримаємо відразу нескоротний дріб.

Потім з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслюємо ті, які не входять до розкладання іншого числа. Твір множників, що залишилися, і буде найбільшим загальним дільником цих чисел. В даному випадку це число 8. На своєму досвіді переконалася в тому, що дітям більш зрозуміло, якщо ми підкреслюємо однакові множники у розкладах чисел, а потім в одному з розкладів знаходимо твір підкреслених множників. Це і є найбільший спільний дільник цих чисел. У шостому класі діти активні та допитливі. Можна поставити перед ними таку задачу: спробуйте описаним способом знайти найбільший спільний дільник чисел 343 і 287. Відразу не видно, як їх розкласти на прості множники. І ось тут можна розповісти їм про чудовий спосіб, вигаданийдревніми греками, що дозволяє шукати найбільший спільний дільник без розкладання на прості множники. Цей спосіб відшукання найбільшого спільного дільника вперше описаний у книзі Евкліда " Початки " . Його називають алгоритмом Евкліда. Полягає він у наступному: Спочатку ділять більше на менше. Якщо виходить залишок, то ділять менше на залишок. Якщо знову виходить залишок, ділять перший залишок на другий. Так продовжують ділити доти, доки в залишку не вийде нуль. Останній дільник і є найбільшим спільним дільником (НОД) даних чисел.

Повернемося до нашого прикладу та для наочності запишемо рішення у вигляді таблиці.

ПодільнеДільникПриватнеЗалишок
343287156
2875657
56780

Отже, НОД(344,287) = 7

А як знайти найменше загальне кратне (НОК) тих же чисел? Чи немає і для цього якогось способу, який не вимагає попереднього розкладання цих чисел на прості множники? Виявляється, є, і до того ж дуже простий. Потрібно перемножити ці числа та розділити твір на знайдений нами найбільший спільний дільник (НДД). У цьому прикладі добуток чисел дорівнює 98441. Ділимо його на 7 і отримуємо число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Таким чином, вивчення в школі таких понять, як "Найбільший спільний дільник (НДД)" та "Найменше загальне кратне (НОК)" чисел

- дозволяє економити час, що відводиться виконання роботи, що призводить до значного збільшення обсягу виконаних завдань;

- підвищує швидкість і точність виконання арифметичних операцій, що веде до значного зменшення кількості обчислювальних помилок, що допускаються;

-дозволяє знаходити красиві способи вирішення нестандартних текстових завдань;

- Розвиває допитливість учнів, розширює їх кругозір;

- Створює передумови для виховання різнобічної творчої особистості.