Нечіткі підмножини
НехайЕє безліч,А- підмножинаЕ, тобто.АÌЕ. Приналежність будь-якого елементахпідмножиниАможна виразити за допомогоюхарактеристичної функціїабофункції приналежності m(х),значення якої вказують, чи є (так чи ні) х елементомА:
Це дозволяє уявитиАза допомогою всіх елементів множиниЕта відповідних їм значень функцією приналежності:
Припустимо тепер, що характеристична функція елементів множиниАзамість того, щоб приймати тільки значення 0 або 1 можуть приймати будь-яке значенняаÎ[0,1],тобто.mA(х)=аÎ[0,1].
Відповідно до цього елементх2 Еможе не належатиА(mA(x)=0), може бути елементомАу невеликій мірі(mA (x)близько до 0), може більш менш належатиА (mA(х)»0,5), може значною мірою бути елементомА (mAблизько до 1) або, нарешті, може бути елементомА (mA(х)=1).
Математичний об'єкт, який визначається виразомА=1|0,2),(х2|0,4),(х3|1),(х4|0),(х5|0,8)>,дехi- елемент універсальної множиниЕ, а число після вертикальної риси дає значення характеристичної функції для цього елемента, називатимемо нечітким підмножиною множиниЕ. Нечітке підмножина будемо позначати напівжирною буквою із символом '_' під нею:
Приналежність елементів нечіткого підмножини можна позначати так:
Ì EабоAÌE
Наведемо приклади нечітких підмножин.
На рис. 12.1 представлена межа нечіткого підмножини, всередині якої вказано значення характеристичної функції для елементів цього підмножини.
Мал. 12.1. Нечітка підмножина
наМал. 12.2 представлено нечітке підмножина за допомогою функції приналежності.
Мал. 12.2. Подання нечіткого підмножини за допомогою функції приналежності
Дамо суворе визначення поняття нечіткого підмножини, запровадженого Л. Заде. НехайЕє безліч, лічильне чи ні, іх- елементЕ. Тоді нечітким підмножиноюАмножиниЕназивається безліч упорядкованих пар
x >, "xÎE
де- ступінь належностіхст. Таким чином, якщоприймає свої значення у множиніМзначень функції приналежності, то можна сказати, щохнабуває значенняМза допомогою.
БезлічМназиваютьмножиною приладдя.
Розглянемо кілька прикладів:
1) нечітке підмножина чиселх, приблизно рівних даному дійсному числуn, деnÎR(R- безліч дійсних чисел);
2) нечітка безліч цілих чисел близьких до 0;
3) нехайа- дійсне число іх- невелике позитивне приріста; тодіа+хутворюють нечітке підмножина у безлічі дійсних чисел.
НехайN- безліч цілих чисел
Розглянемо нечітке підмножина чисел за абсолютною величиною
Тут значення, дех=-8,-5,-3. , задаються, звісно, суб'єктивно.
Цю формулу можна записати у вигляді:
-8 , -5 , -3 , .
Розглянемо різні операції теорії звичайних множин стосовно нечітких підмножин, а також введемо нові операції для останніх. НехайЕ- безліч іМ=[0,1]- безліч приладдя,і - два нечіткіпідмножини зЕ.
Рівність.Два нечіткі підмножиниі рівні (позначається= ) тоді і тільки тоді, коли (A=B) ¢ ("xÎE:=).
Якщо знайдеться принаймні один такий елементхзЕ, що рівність)¹не задовольняється, то говоритимемо, щоі не рівні та позначати¹
Перетин.Перетин двох нечітких підмножин, що позначаєтьсяі визначають як найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно ві . (AÇB)=("xÎE:)=MIN( ), ).
=1¦0,1),(х2¦0,5),(х3¦1),(х4¦0),(х5¦0,8)>.
=1¦0,6),(х2¦1),(х3¦0,4),(х4¦0,7),(х5¦0,8)>.
=1¦0,1),(х2¦0,5),(х3¦0,4),(х4¦0),(х5¦0,8)>.
На рис. 12.3 представлено графічно перетин двох нечітких підмножин.
Мал. 12.3. Перетин двох нечітких підмножин
Об'єднання.Об'єднання двох нечітких підмножині,, визначимо як найменше нечітке підмножина, яке містить якА, так іВ:
( )=("xÎE: )=MAX( ), )
Повернувшись, наприклад, отримаємо
=1¦0.6),(х2¦1),(х3¦1),(х4¦0.7),(х5¦0.8)>.
На рис. 12.4 представлено графічно об'єднання двох нечітких підмножин.
Мал. 12.4. Об'єднання двох нечітких підмножин
Доповнення.Будемо говорити, щоі два нечіткі підмножиниЕдоповнюють один одного, якщо
"xÎE: =1- ).
Це означає так:
Тоді очевидноùA=B
На рис. 12.5 графічно представлено доповнення нечіткої підмножиниА.
Мал. 12.5. Доповнення нечіткої підмножини
Включення.Будемоговорити, щоміститься в , якщо
"xÎE: )£
та позначатиÌ.
Суворе включення відповідає випадку, коли, принаймні, одна нерівність сувора і позначається
= 1¦0,8),(х2¦0,6),(х3¦0,4)>.
= 1¦0,5),(х2¦0,4),(х3¦0,1)>.
МаємоÌ, оскільки0.5 0
проводиться переміщення функції вправо, а при l k , k>1.
На рис.5.10 графічно наведено результат операції ущільнення.
Мал. 5.10. Операція ущільнення
Розтягнення.Операція здійснюється відповідно до наступної формули:
xÎE, = ( ) k , 0