Необхідні відомості - Статистика електронів та дірок у напівпровідниках
У 14 разів зросла кількість українців на MediaTek Labs? проект зі створення пристроїв "інтернету речей" і "гаджетів, що носяться"
Нове покоління Джобсів або як MediaTek створив свій маленький "Кікстартер"
Амбітна мета компанії MediaTek - сформувати співтовариство розробників гаджетів із фахівців по всьому світу та допомогти їм реалізувати свої ідеї у готові прототипи. Вже зараз для цього є всі можливості, від міні-спільнот, у яких можна подивитися чужі проекти до прямих контактів із справжніми виробниками електроніки. Почати проектувати гаджети може будь-який талановитий розробник – поріг входу дуже низький.
Популярні матеріали
Коментарі
люди куплю транзистар кт 827А 0688759652
як молоді ми були і як швидко пробігли роки кулотино найщасливіший мій час
Світлодіод - це діод, який випромінює світло. А якщо діод має ІЧ випромінювання, то це ІЧ діод, а не "ІЧ світлодіод" та "Світлодіод інфрачервоний", як зазначено на сайті.
Підкажіть 2т963а-2 гарантійний термін
Твердотільна електроніка. Навчальний посібник.
1.3. Статистика електронів та дірок у напівпровідниках
Рівноважні процеси - процеси, які у тілах, які піддаються зовнішнім впливам. У стані термодинамічної рівноваги для даного зразка кристала за заданої температури існує певний розподіл електронів і дірок по енергіях, а також значення їх концентрацій. Обчислення концентрацій основних та неосновних носіїв заряду становить головне завдання статистики електронів та дірок у кристалах.
Розглянуте завдання розпадається на дві частини: чисто квантово-механічну - знаходження числа можливих квантових станів електронів та статистичну -визначення фактичного розподілу електронів за цими квантовими станами при термодинамічній рівновазі.
1.3.1. Розподіл квантових станів у зонах
Стаціонарні стани електрона в ідеальному кристалі характеризуються квазіімпульсом р. Запишемо принцип неоднорідностей Гейзенберга для квазіімпульсів dpx, dpy та dpz:
(1.1)
Перемножимо відповідно ліві та праві частини цих співвідношень. Отримаємо
(1.2)
де dp = dpx dpy dpz і dV = dx dy dz, тобто dp - це деякий об'єм у просторі квазіімпульсів px, py, pz, тобто всередині зони Бріллюена, а dV - деякий об'єм усередині напівпровідника. При цьому обсяг dV – не обов'язково нескінченно мала величина. Він може бути кінцевим. Для розрахунку концентрацій носіїв заряду (тобто числа носіїв в одиниці об'єму напівпровідника) виділимо всередині кристала одиничний об'єм dV = 1 см 3 . Тоді з (1.2) отримаємо dp ≤ h 3 . Тобто всередині об'єму dp = h 3 в зоні Бріллюена може мати місце тільки один квантовий стан, який розмито по всьому цьому об'єму. Отже, h 3 - це обсяг однієї "квартирки" в зоні Бріллюена, в яку можна помістити лише два електрони з різними спинами, і не більше. Тому число квантових станів, відповідне елементу об'єму dp в зоні Бріллюена і розраховане на одиницю об'єму кристала, дорівнює dp/h 3 - тобто "квартирок" в обсязі dp. При заповненні зони провідності електронами заповнюються спочатку найнижчі рівні. Зона провідності – одномірна щодо енергії (рис. 1.3а). Зона Бріллюена – тривимірна (px, py, pz) (рис. 1.3б). Заповнення зони Бріллюена починається з найменших значень квазіімпульсу p. Тому як dp треба вибрати елемент об'єму, укладений між двома дуже близькими ізоенергетичнимиповерхнями (див. рис. 1.3б). Усередині цього тонкого шарового шару радіусом p і товщиною dp число квантових станів дорівнюватиме:
(1.3)
Мал. 1.3. Діаграма для розрахунку густини квантових станів: а - розподіл електронів по енергії в зоні провідності; б - зона Бріллюена для розрахунку густини станів
Визначимо кількість квантових станів у зоні провідності у вузькому інтервалі енергій від Е до Е+dЕ, розраховане на одиницю об'єму кристала. Його можна подати у вигляді N(E)dE, де N(E) є щільністю станів.
Поблизу дна зони провідності для випадку параболічного ізотропного закону дисперсії енергія електрона
(1.4)
де ЕC – енергія, що відповідає дну зони провідності. Для зручності ефективну масу електрона mn писатимемо без зірочки. З (1.4) отримаємо dE = p·dp/mn, тобто dp = mndE/p та p 2 = 2mn(E-Ec). Підставляємо у (1.3), маємо
(1.5)
(1.6)
Аналогічна формула виходить і для валентної зони, але замість (Е - ЕC) напишемо (ЕV - Е), а замість mn - ефективну масу дірки mp.
Як видно з (1.6), густина квантових станів зростає в міру віддалення від дна зони провідності.
1.3.2. Концентрація носіїв заряду та положення рівня Фермі
Електрони, як частинки, що мають напівцілий спин, підпорядковуються статистиці Фермі-Дірака. Імовірність того, що електрон перебуватиме в квантовому стані з енергією Е, виражається функцією Фермі-Дірака:
(1.7)
Тут F – електрохімічний потенціал, або рівень Фермі. З (1.7) видно, що рівень Фермі можна визначити як енергію такого квантового стану, ймовірність заповнення якого дорівнює 1/2.
Вигляд функції Фермі-Дірака схематично показаний малюнку 1.4. При Т = 0 вона маєвид розривної функції. Для E F функція f = 0 і відповідні квантові стани не заповнені. При Т > 0 функція Фермі зображується безперервною кривою і у вузькій області енергій, близько кількох kT, в околиці точки E = F швидко змінюється від 1 до 0. Розмиття функції Фермі тим більше, що вища температура.
Обчислення різних статистичних величин значно спрощується, якщо рівень Фермі F лежить у забороненій зоні енергій і віддалений від краю зони EC хоча б на 2kT (у деяких підручниках пишуть EC - Е). Тоді у розподілі (1.7) одиницею у знаменнику можна знехтувати і він перетворюється на розподіл Максвелла - Больцмана класичної статистики. Це випадок невиродженого напівпровідника:
(1.8)
Концентрація електронів у зоні провідності дорівнює:
(1.9)
Мал. 1.4. Функція розподілу щільності станів у зоні провідності N(E), функції Фермі-Дірака f та Больцмана fБ
Зазначимо, що як верхню межу в написаному інтегралі ми мали б взяти енергію верхнього краю зони провідності. Але так як функція f для енергій E > F експоненційно швидко зменшується зі збільшенням E, то заміна верхньої межі на нескінченність не змінює значення інтеграла. Підставляємо в (1.9) вирази (1.6) та (1.8). Розрахунок інтеграла нескладний. Отримаємо
(1.10)
(1.11)
Величина NC отримала назву ефективної густини станів у зоні провідності.
У разі невиродженого напівпровідника, коли рівень Фермі лежить вище за стелю валентної зони хоча б на 2kT, тобто F - EC > 2kT (у деяких підручниках пишуть F - EC > kT), функція Фермі-Дірака для дірок fp має вигляд
(1.12)
а концентрація дірок у валентній зоні
(1.13)
де EV – енергія,відповідна стелі валентної зони, а NV розраховується за рівнянням (1.11), якщо замість mn взяти ефективну масу дірки mp. Величина NV – ефективна щільність станів у валентній зоні.
Зазначимо, що у (1.9) перед інтегралом з'явився множник 2, що з тим, що у кожному рівні енергії можуть бути два електрона з протилежними спинами (принцип Паулі).
Для розрахунку n і p за рівняннями (1.10) і (1.13) необхідно знати положення рівня Фермі F. Однак добуток концентрацій електронів і дірок для невиродженого напівпровідника не залежить від рівня Фермі, хоча залежить від температури:
(1.14)
Це рівняння використовується для розрахунку p при відомому n або навпаки для розрахунку n при відомому p. Величина ni за деяких температур для конкретних напівпровідників наводиться в довідниках.