Нерівності з однією змінною
Пропозиції 2х+7>10-х, х2+7х0 називають нерівностями з однією змінною.
Загалом це поняття визначають так:
Визначення.Нехай f(х) і q(х) - два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді нерівність виду f(х) q(х) називається нерівністю з однією змінної. Безліч Х називається областю його визначення.
Значення змінної х з множини X, при якому нерівність звертається в справжню числову нерівність, називається її розв'язком.
Так, розв'язанням нерівності 2х+7>10-х,хÎ R є число х=5, тому що 2×5+7> 5- справжнє числове нерівність. А безліч його рішень - це проміжок (1, ¥), який знаходять, виконуючи перетворення нерівності: 2х+7>10-х Þ 3х> Þ х>1.
В основі розв'язання нерівностей з однією змінною лежить поняття рівносильності.
Визначення.Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх безлічі рішень рівні.
Наприклад, нерівності 2х+7 10 і 2х 3 рівносильні, так як їх безлічі рішень рівні і являють собою проміжок
Теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них аналогічні відповідним теоремам про рівносильність рівнянь. За їхнього доказу використовуються властивості істинних числових нерівностей.
Теорема 3.Нехай нерівність f(х) > q(х) задано на множині Х і h(х) - вираз, визначений на тій самій множині. Тоді нерівності f(х) > q(х) та f(х)+ h(х) > q(х)+ h(х) рівносильні на множині X.
З цієї теореми випливають наслідки, які часто використовуються при вирішенні нерівностей:
1) Якщо до обох частин нерівності f(х) > q(х)додати те саме число d, то отримаємо нерівність f(х)+ d > q(х)+ d, рівносильне вихідному.
2) Якщо якийсь доданок (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даному.
Теорема 4.Нехай нерівність f(х) > q(х) задано на множині Х і h(х) - вираз, визначений на тому ж множині, і для всіх х з множини Х вираз h(х) набуває позитивних значень. Тоді нерівності f(x)×h(x) > q(х)× h(х) рівносильні на множині X.
З цієї теореми випливає наслідок: якщо обидві частини нерівності f(х) > q(х)помножити на те саме позитивне число d, то отримаємо нерівність f(х)× d > q(х)× d, рівносильне даному.
Теорема 5.Нехай нерівність f(х) > q(х) задано на множині Х і h(х) - вираз, визначений на тому ж множині, і для всіх х їх множини Х вираз h(х) набуває негативних значень. Тоді нерівності f(х) > q(х) b f(х)× h(х) q(х)помножити на те саме негативне число d і знак нерівності поміняти на протилежний, то отримаємо нерівність f(х)× d
Основні поняття теми
Ø числовий вираз;
Ø значення числового виразу;
Ø вираз, що не має сенсу;
Ø вираз зі змінною (змінними);
Ø область визначення виразу;
Ø тотожно рівні вирази;
Ø тотожне перетворення виразу.
Ø числова рівність;
Ø числова нерівність.
Практична частина
1. Серед наступних записів вкажіть числові вирази: а) 42: 5; б) 27; в) 32 + -): 14; г) 2×7 = 7×2; д) (17+130: 10 - 15; е) 142 > 71 × 2.
2. Які з наступних виразів мають сенс, якщо розглядати їх на множині натуральних чисел: а) (135+67) × 12; б) (135 - 217): 2; в) 362: 4?
3. Які з наведених нижче записів є виразами зі змінними: а) 8 + 0,3b; б) 21 - (4 + у); в) х + 2у у - справжня нерівність. Чи будуть істинними такі нерівності:
а) 2х > 2у; в) 2х - 7» або «_ * -;
в) *; е) (а-1) * (b-1)
18. Дана нерівність 5 > 3. Помножте обидві його частини на 7; 0,1; 2,6; . Чи можна на підставі отриманих результатів стверджувати, що для будь-якого позитивного числа нерівність 5а > 3а істинно?
19. Виконайте завдання, які призначаються учням початкових класів, і зробіть висновок про те, як трактуються в початковому курсі математики поняття числової рівності та числової нерівності:
а) Запиши дві вірні рівності та дві вірні нерівності, використовуючи вирази: 9 × 3, 30 – 6, 3 × 9, 30 – 3. б) Розставь дужки так, щоб рівності були вірними: 4 + 2 × 3 = 18; 31-10-3 = 24; 54-12 +8 = 34. в) Постав замість * знаки дій так, щоб вийшли вірні рівності: 3*6*2=9; 9 * 3 * 6 = 18.
1. Які відповіді учнів ви вважаєте правильними під час виконання ними завдання - порівняти висловлювання, не обчислюючи їх значення: а) 70 × 32+9 × 32. 79×30+79×2; б)7×4+3×4. (7+8)×4; в) 8500:1700. 8500:100:17; г) 24 × 6080 . (6000+80) × 24?
2. Складіть текстове завдання, рішення якого можна оформити у вигляді числового виразу (12 + 9) 4. Скільки арифметичними способами можна вирішити це завдання? Якою є теоретична основа різних способів арифметичного вирішення цього завдання?
3. Складіть текстові завдання, математична модель яких: а) 17 3; б) (5 + 7) '8; в) (25 + 43) 3.
4. Складіть текстові завдання, математична модель яких: а) 35: 7; б) (21 + 18): 3; в) (1 + 14): 3.