Незалежні повторні випробування та формула Бернуллі

Формула Бернуллі: теорія

На цьому уроці знаходимо ймовірність настання події в незалежних випробуваннях при повторенні випробувань. Випробування називаються незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату кожного випробування не залежить від того, які результати мали інші випробування. Незалежні випробування можуть проводитися як у однакових умовах, і у різних. У першому випадку ймовірність появи деякої події у всіх випробуваннях одна й та сама, у другому випадку вона змінюється від випробування до випробування.

Приклади незалежних повторних випробувань :

  • вийде з ладу один із вузлів приладу або два, три вузли, причому вихід з ладу кожного вузла не залежить від іншого вузла, а ймовірність виходу з ладу одного вузла постійна у всіх випробуваннях;
  • вироблена в деяких постійних технологічних умовах деталь, або три, чотири, п'ять деталей, виявляться нестандартними, причому одна деталь може виявитися нестандартною незалежно від будь-якої іншої деталі та ймовірність того, що деталь виявиться нестандатною, постійна у всіх випробуваннях;
  • з кількох пострілів по мішені один, три чи чотири постріли потрапляють у мету незалежно від наслідків інших пострілів і можливість попадання в ціль постійна у всіх випробуваннях;
  • при опусканні монети автомат спрацює правильно один, два чи інше число разів незалежно від того, який результат мали інші опускання монети, і можливість того, що автомат спрацює правильно, постійна у всіх випробуваннях.

Ці події можна описати однією схемою. Кожна подія настає у кожному випробуванні з однією і тією ж ймовірністю, яка не змінюється, якщо стають відомими результати попередніх випробувань. Такі випробування називаються незалежними, а схема називаєтьсясхемою Бернуллі. Передбачається, що такі випробування можуть бути повторені як завгодно багато разів.

незалежні

Якщо ймовірність p настання події A у кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія A настане m разів, знаходиться за формулою Бернуллі :

(де q = 1 - p - ймовірність того, що подія не настане)

Поставимо завдання – знайти ймовірність того, що подія такого типу у n незалежних випробуваннях настане m разів.

Формула Бернуллі: приклади розв'язання задач

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що серед взятих випадково п'яти деталей дві стандартні, якщо ймовірність того, що кожна деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,9.

Рішення. Імовірність події А , що полягає в тому, що взята випадково деталь стандартна, є p = 0,9, а ймовірність того, що вона нестандартна, є q = 1-p = 0,1. Позначене за умови завдання подія (позначимо його через У ) настане, якщо, наприклад, перші дві деталі виявляться стандартними, а наступні три – нестандартними. Але подія також настане, якщо перша і третя деталі виявляться стандартними, а решта – нестандартними, або якщо друга та п'ята деталі будуть стандартними, а решта – нестандартними. Є й інші можливості настання події. Кожна з них характеризується тим, що з п'яти деталей дві, що займають будь-які місця з п'яти, виявляться стандартними. Отже, загальна кількість різних можливостей настання події дорівнює кількості можливостей розміщення на п'яти місцях двох стандартних деталей, тобто. дорівнює кількості поєднань з п'яти елементів по два, а .

Імовірність кожної можливості за теоремою множення ймовірностей дорівнює добутку п'яти множників, з яких два, що відповідають появістандартних деталей, рівні 0,9, інші три, відповідні появі нестандартних деталей, рівні 0,1, тобто. ця ймовірність становить. Так як зазначені десять можливостей є несумісними подіями, за теоремою складання ймовірність події В, яку позначимо

Приклад 2. Імовірність того, що верстат протягом години вимагатиме уваги робітника, дорівнює 0,6. Припускаючи, що неполадки на верстатах незалежні, знайти ймовірність того, що протягом години уваги робітника вимагатиме якийсь один верстат із чотирьох обслуговуваних ним.

Рішення. Використовуючи формулу Бернуллі при n=4 , m=1 , p=0,6 і q=1–p=0,4 , отримаємо

Приклад 3. Для нормальної роботи автобази на лінії має бути не менше восьми автомашин, а їх є десять. Можливість невиходу кожної машини на лінію дорівнює 0,1. Знайти можливість нормальної роботи автобази в найближчий день.

Рішення. Автобаза буде працювати нормально (подія F), якщо на лінію вийдуть або вісім (подія А), або дев'ять (подія В), або всі десять автомашин подія (подія C). За теоремою складання ймовірностей,

.

Кожне доданок знаходимоза формулою Бернуллі. Тут n=10 , m=8;&nbsp9 10 , а p=1-0,1=0,9 , оскільки p повинно означати ймовірність виходу автомашини на лінію; тоді q = 0,1. В результаті отримаємо

повторні

Приклад 4. Нехай ймовірність того, що покупцю необхідне чоловіче взуття 41-го розміру, дорівнює 0,25. Знайти ймовірність того, що із шести покупців принаймні двом необхідне взуття 41-го розміру.

Рішення. Позначена в умові завдання подія (позначимо її через С) полягає в тому, що з шести покупців двом, трьом, чотирьом, п'яти або шести необхідно взуття 41-го розміру. Застосувавши теорему складання ймовірностей, апотім формулу Бернуллі, отримаємо відповідь. Однак завдання вирішується простіше, якщо спочатку шукати ймовірність не потрібного в умові завдання, а протилежної йому події. Воно полягає в тому, що менш ніж двом покупцям необхідне взуття 41-го розміру, тобто або жодному покупцю (подія А), або тільки одному (подія В). Таким чином,

.

За формулою Бернуллі при n=6 , p=0,25 , q=0,75 і m=0; 1 отримаємо

(При підрахунку слід мати на увазі, що ). Тоді ймовірність події С знайдеться як ймовірність події, протилежної знайденому:

.