Незалежність аксіоми паралельності
Вимоги до систем аксіом.
Несуперечність системи аксіом.
Визначення. Система аксіом називаєтьсянесуперечливоюабоспільною, якщо в її теорії Т∑ неможливо довести одночасно яке- або твердження А та його заперечення А. В іншому випадку система аксіом називаєтьсясуперечливою.
Теорія Т∑ , що містить разом із деяким твердженням АÎТ∑ і заперечення цього твердження ùАÎТ∑ називаєтьсяне класичноютеорією. З погляду здорового глузду така теорія абсурдна, оскількинеможлива ситуація, у якійодночасно виконується деяка властивість та її заперечення. Наприклад, предмет не може бути червоним і не червоним одночасно, людина не може бути втомленою і відпочили одночасно і т.д.
Отже, щоб система аксіом могла відбивати реальний об'єкт, вона має бути несуперечливою. Але теоретична перевірка несуперечності, заснована на безпосередньому визначенні несуперечності, скрутна. Справді, перебрати всі можливі твердження деякої теорії Т∑ практично неможливо. Наприклад, евклідова геометрія, заснована на 20 аксіомах Гільберта, включає близько 20000 тверджень, одержуваних логічним шляхом (відповідно до роботи професора Гарвардського університету Гаррета Біркгоффа). Т∑ =< А1, А2. А20000 >
Оскільки суперечлива система аксіом має допускати ніякої реалізації (жоден властивість у реальної моделі неспроможна мати місце разом із своїм запереченням), отримуємо просте достатню умову спільності:
Твердження. Система аксіом Т спільна або несуперечлива, якщо існує хоча б одна несуперечлива реалізація R(T) цієї системи.
Тобто доказ несуперечності системи аксіом Т зводиться до пошуку хоча б однієї несуперечливої реалізації.
Приклад 1. Розглянемо тривимірну евклідову геометрію.
1) Оскільки однією з її реалізацій є арифметична модель R 3 то евклідова геометрія несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика дійсних чисел. Таким чином, питання про несуперечність евклідової геометрії зводиться до питання про несуперечність арифметики дійсних чисел.
2) Якщо ж у якості реалізації евклідової геометрії розглядати навколишній світ, то несуперечність цієї геометрії зводиться до дослідної перевірки.
Зауважимо, що навколишній світ не є зовсім евклідовим. Вивчення електромагнітних явищ призвели до виявлення неевклідових ефектів, а також неевклідовість має місце у світі гравітації. В описі цих явищ знайшли своє застосування закони неєвклідової геометрії Лобачевського.
Приклад 2. Розглянемо планиметрію Лобачевського. Вона має реалізацію Пуанкаре L2. У свою чергу, L2 має арифметичну модель: 0> –"точки", 0> - "Прямі", і так далі. Отже, питання про несуперечність планиметрії Лобачевського зводиться, як і у разі евклідової геометрії, до несуперечності арифметики.
Незалежність аксіоматичної системи.
Визначення. Несуперечлива система аксіом називаєтьсянезалежною, якщо жодна з аксіом цієї системи не може бути виведена з інших аксіом як теорема. В іншому випадку система аксіом називаєтьсязалежною.
Для ілюстрації цієї властивості звернемося знову до геометричної теорії, що базується на аксіоматиці Гільберта. Зрозуміло, що безпосередня перевірка незалежності кожної з 20 аксіомскрутна. Коли досліджувалися постулати " Початок " Евкліда, четвертий постулат (про конгруентності всіх прямих кутів) було доведено як логічне наслідок інших аксіом і постулатів. Тоді й постало питання про незалежність чи доказ п'ятого постулату (про паралельні прямі). Понад дві тисячі років робилися спроби довести одне з двох: або те, що V постулат є логічним наслідком інших тверджень, або те, що він не доводиться виходячи з інших аксіом і постулатів.
Тоді постає питання, як перевірити незалежність будь-якого затвердження А від системи аксіом Т (вже перевіреної на спільність).
Твердження. Нехай Т - несуперечлива система аксіом, і А - ще одне твердження (аксіома).Твердження А не залежить від системи Т, якщо разом з деякою реалізацією R1(Т,А) системи аксіом Т та затвердження А існує деяка реалізація R2(T, ù A) системи Т і А.
Незалежність аксіоми паралельності.
Продемонструємо застосування цієї достатньої умови на прикладі незалежності аксіоми паралельності від інших 14 аксіом планіметрії.
Позначимо Т = 1. T14> – система аксіом без аксіоми паралельності, П – аксіома паралельності.
Як реалізації R1(T,П) візьмемо модель R 2 - арифметичної евклідової площини: R 2 = R1(T,П).
Як реалізації R2(T, ù П) візьмемо модель Пуанкаре L2= R2(T, ù П). Існування цих реалізацій: R1(T,П) і R2(T, ù П), згідно з достатньою умовою, тягне за собою незалежність аксіоми паралельності П евклідової геометрії від інших 14 аксіом планіметрії.