НОУ ІНТУІТ, Лекція, Числові характеристики залежності
Коваріація двох випадкових величин
Ми знаємо, що для незалежних випадкових величин з кінцевими іншими моментами дисперсія їх суми дорівнює сумі дисперсій. У загальному випадку дисперсія суми дорівнює
Величина дорівнює нулю, якщо випадкові величини та незалежні (властивість (E7) математичного очікування). З іншого боку, з рівності її нулю зовсім не випливає незалежність, як показують приклади 50 і 51. Цю величину використовують як індикатор наявності залежності між двома випадковими величинами.
Визначення 39. Коваріацією випадкових величин і називається число.
Властивість 18. Справедливі рівності: .
Безпосереднім зведенням суми у квадрат перевіряється така властивість.
Властивість 19. Дисперсія суми декількох випадкових величин обчислюється за будь-якою з наступних формул:
Обговоримо переваги та недоліки коваріації як величини, що характеризує залежність двох випадкових величин.
Якщо коваріація відмінна від нуля, то величини і залежні. Щоб судити про наявність залежності згідно з будь-яким визначенням незалежності, потрібно знати спільний розподіл пари і . Але знайти спільний розподіл часто буває складніше, ніж порахувати математичне очікування твору та . Якщо нам пощастить, і математичне очікування не дорівнюватиме добутку їхніх математичних очікувань, ми встановимо залежність і не знаходячи їхнього спільного розподілу. Це дуже добре.
Приклад 65. Покажемо, що з допомогою коваріації можна судити про залежність навіть тоді, коли обчислення спільного розподілу недостатньо даних. Нехай і - незалежні випадкові величини та дисперсія відмінна від нуля. Покажемо, що й залежні:
Вправа.Довести, що й незалежні, якщо .
Величина не є "безрозмірною": якщо - обсяг газу в посудині, а - тиск цього газу, то коваріація вимірюється в . Інакше висловлюючись, при множенні чи 100 коваріація теж збільшиться у 100 раз. Але від множення на 100 величини не стали "залежнішими", так що велике значення коваріації не означає сильнішої залежності. Це дуже погано.
Потрібно якось нормувати коваріацію, отримавши з неї "безрозмірну" величину, абсолютне значення якої:
- не змінювалося б при множенні випадкових величин на число;
- свідчило б про "силу залежності" випадкових величин.
ЗауваженняГоворячи про "силу" залежності між випадковими величинами, ми маємо на увазі наступне. Найсильніша залежність – функціональна, а з функціональних – лінійна залежність, коли п.н. Бувають набагато слабші залежності. Так, якщо за послідовністю незалежних випадкових величин побудувати величини і , то ці величини залежні, але дуже "слабко": через єдине загальне доданок . Чи сильно залежать кількість гербів у перших підкиданнях монети і число гербів у випробуваннях з -го по -е?
Отже, наступна величина є лише коваріація, нормована належним чином.