Обчислення оптимальних налаштувань регулятора
Визначенню підлягають налаштування, які найкраще забезпечують заданий ступінь коливання для перехідного процесу або, що наочно, ступінь загасання перехідного процесу:
,
де і - 1-е і 3-тє динамічне відхилення регульованої величини від значення, що встановилося. Ці відхилення визначаються безпосередньо за графіком перехідного процесу, проте ступінь згасання може бути визначений і іншим шляхом - через ступінь коливання:
Ступінь коливання, своєю чергою, пов'язана з комплексною площиною коренів характеристичного рівняння АСР; буквально означає модуль відношення дійсної частини комплексного кореня до уявної. З теорії автоматичного управління відомо, що якщо пов'язані корені характеристичного рівняння знаходяться в лівій напівплощині коренів, то перехідний процес має загасаючу коливальну складову. Характеристичне рівняння 3-го порядку може мати, крім цього, речовий корінь, який також повинен перебувати в лівій напівплощині. Він обумовлює наявність монотонної складової у результуючому перехідному процесі. Рівняння більш високих порядків може мати кілька пар коренів, проте визначальне значення для результуючого перехідного процесу має та пара коренів, яка характеризується найменшим (за модулем) ставленням дійсної координати до уявної:
Всі інші коріння повинні бути всередині уявного сектора, утвореного початком координат, найближчої до уявної осі, парою коренів. З викладеного слід, що налаштування регулятора на необхідне значення коефіцієнта загасання перехідного процесу можна знайти, призначивши для характеристичного рівняння АСР граничну пару коренів:
(14)
Ця вимога рівносильна побудові розширеної КЧХ,яка має бути отримана з формули (2) шляхом заміни S на (-b тому, що корінь повинен лежати в лівій напівплощині). З урахуванням (19) -b можна замінити на . Для уніфікації виду перехідного процесу значення умовно унормовані, зазвичай застосовуються значення 0,22; 0,30; 0,37; 0,48.
Таким чином, для заданого об'єкта розширена КЧХ:
(15)
Після виконання перетворень отримаємо для побудови розширеної АФГ:
- за модулем та аргументом:
(16)
- по дійсній та уявній частинах:
(17)
Легко помітити, що з m=0 вирази (16) і (17) зводиться до виразів звичайної АФХ даного об'єкта.
Формули для визначення пар налаштувань у всьому діапазоні частот, що забезпечують задане значення ступеня коливності, можуть бути отримані з характеристичного рівняння замкнутої АСР (12) . Однак замість складових ,,, необхідно підставити в неї відповідно
,,,
Ці налаштування буде знайдено з умови перетину графіком розширеної КЧХ замкнутої системи критичної (себто критерію Найквіста-Михайлова) точки з координатами (-1, j 0), тобто. з умови:
(18)
(19)
Знайдемо оптимальні налаштування ПІ – регулятора з графіка:
Малюнок 3. Кордон стійкості АСР при
=0.48 (верхня та нижня відповідно)
Оптимальною настройкою для цієї АСР будуть налаштування: .