Область визначення оператора - MathHelpPlanet
Обговорення та вирішення завдань з математики, фізики, хімії, економіки
Часовий пояс: UTC + 3 години [ Літній час ]
Область визначення оператора
Доброго Вам доби. Намагаюся відшліфувати розуміння кількох визначень і сподіваюся на Вашу допомогу. Нехай [math]L_1, L_2[/math] - лінійний простір. Намагаюся розібратися з визначенням лінійного оператора, що діє [math]L_1[/math] в [math]L_2[/math] .
1) Чи правильно розумію, що у визначенні не потрібно, щоб область визначення оператора збігалася з усім простором [math]L_1[/math] ? Якщо так, то чи накладаються якісь обмеження на область визначення? Чи має вона бути підпростором простору [math]L_1[/math] чи це може бути довільна безліч?
2) Простори повинні бути визначені над одним і тим же полем (інакше не можна визначити, чи має оператор властивість однорідності)?
3) Поняття обмеженого та безперервного оператора визначено для будь-яких операторів або тільки для лінійних (постійно натикаюся на фразу "лінійний безперервний", а просто "безперервний" начебто й не зустрічав?).
4) Ці поняття (безперервний, обмежений) визначені для будь-яких лінійних або тільки для таких, у яких область визначення збігається з [math] L_1 [/ math], тобто. чи можемо ми, наприклад, говорити про безперервному лінійному операторі, що діє з [math]C_[/math] в [math]C_[/math] і визначеному лише на безлічі диференційованих на відрізку [math][0; 1][/math] функцій? Наприклад, якийсь [math]x^(0)[/math] визначений тільки для таких функцій, але може виникнути бажання розглядати його, як діючий з [math]C_[/math] в [math]C_[/math ] , якщо кожна диференційована є безперервною.
5) Те саме питання (що і в 4-му пункті) про норму оператора. Я так розумію, що вона визначена лише для лінійних. Але питання з областю визначення у мене все одно залишається.
Буду дуже вдячний, якщо допоможете розібратися.