Обмежені множини дійсних чисел
Розглянемо довільну множину дійсних чисел, яку позначатимемо символом . Припускатимемо, що безліч містить хоча б одне число (непорожнє безліч). Позначення: ¹Æ.
Визначення 1. Багато речових чисел називається обмеженим зверху (знизу), якщо існує таке речове число М (число m), що кожен елемент x множини задовольняє нерівності x £ М. (x ³ m).
Клас обмежених зверху (знизу) множин дійсних чисел будемо позначати символом , так що запис означає, що множина дійсних чисел обмежена зверху (знизу).
На мові алгебри логіки дані визначення формулюються так:
Числа М і m називаються, відповідно, верхньою гранню (нижньою гранню) множини.
Зауваження. Якщо речове число М є верхньою гранню множини, то і будь-яке речове число М 1, більше М, також є верхньою гранню цієї множини. Звідси випливає, що будь-яка обмежена зверху безліч має безліч верхніх граней.
Аналогічні висновки можна зробити і щодо нижніх граней обмеженої знизу безлічі.
Приклад 1. Багато всіх цілих негативних чисел -1,-2,-3. обмежена зверху. Як верхню грань цієї множини можна взяти будь-яке речовинне число М, що задовольняє нерівності М-1.
Приклад 2. Багато всіх позитивних дійсних чисел обмежено знизу. Як нижня грань цієї множини можна взяти будь-яке непозитивне речовинне число.
Визначення 2. Точною верхньою гранню обмеженої зверху множини називається найменша з усіх верхніх граней цієї множини. Точна верхня грань позначається символом (sup- перші три літери латинського слова supremum (“супремум”), що перекладається як “найвище”).
Найбільша з усіх нижніх граней обмеженої знизу множини називається точною нижньою гранню цієї множини та позначається символом (від латинського слова infimum (“інфімум”), яке перекладається як “найнижче”).
Визначення 2 формулюють частіше та по-іншому:
Число (число) називається точною верхньою (точною нижньою) гранню обмеженої зверху (знизу) множини, якщо виконані наступні дві вимоги:
1. кожен елемент xÎ задовольняє нерівності;
2. яке б не було речове число x 1 менше (більше), знайдеться хоча б один елемент, що задовольняє нерівність.
У цьому визначенні вимога 1 означає, що число (число ) є однією з верхніх (нижніх) граней, а вимога 2 показує, що ця грань є найменшою (найбільшою) і зменшена (збільшена) не може бути.
Приклад 3. У багатьох всіх цілих негативних чисел -1,-2,-3. існує точна верхня грань x = -1, яка належить цій множині (тобто є найменшим елементом цієї множини).
У багатьох всіх позитивних дійсних чисел існує точна нижня грань-число 0, причому це число не належить зазначеній множині.
Має місце така теорема.
Теорема 1.
(¹Æ) .
Якщо безліч дійсних чисел містить хоча б один елемент і обмежена зверху (знизу), то існує речове число, яке є точною верхньою (точною нижньою) гранню цієї множини.
Доказ цієї теореми можна знайти у деяких роботах. [1]