Однозв’язна поверхня - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття, сторінка 1
Однозв'язкова поверхня
Однозв'язна поверхня в середовищі, що являє собою геометричне місце синфазно коливаються точок середовища при гармонійній хвилі, що біжить. [1]
Будь-яка однозв'язна поверхня з транзитивною групою ізометрії ізометрична після заміни масштабу однієї з поверхонь S2, Е2 або Я2; скажімо, може вийти сфера будь-якого радіусу. [2]
Уявивши замкнуту однозв'язну поверхню струму при перебігу стисливої рідини, побачимо, що кількість гіперболічних точок на такій поверхні буде на два менше числа еліптичних. Будь-яку багатозв'язкову замкнуту поверхню можна зробити однозв'язковою, провівши k перегородок і розглядаючи обидві сторони кожної перегородки як частини поверхні. Неважко показати, що на замкнутій поверхні струму, яка робиться однозв'язною допомогою Ъ перегородок, число гіперболічних точок на 2k - 2 більше за число еліптичних. Сказане з'ясовує розташування ортогональних ліній поверхнях вихору. [3]
На однозв'язних поверхнях непозитивної кривизни, як випливає з теореми Гаусса-Бонне, ці властивості виконані в цілому. Тому на однозв'язних поверхнях непозитивної кривизни природна щільність геодезичних існує в цілому, і, отже, існує в цілому поле Леві. На поверхні зі сполученими точками ця конструкція явно не поширюється. Більше того, нижче буде наведено приклади поверхонь, на яких полів Леві не існує. [4]
Довести загальніший факт: на повній однозв'язній поверхні негативної кривизни дуга будь-якої геодезичної є найкоротшою між своїми кінцевими точками. [5]
Універсальна поверхня, що накриває, є за визначенням однозв'язною поверхнею. Якщо розглядатитільки поверхні без кордонів, то виявляється, що є лише два типи однозв'язних поверхонь: замкнута орієнтована поверхня роду 0 і площина, за умови, звичайно, що ми цікавимося лише топологічними (речовинно) диференціально-геометричними або комбінаторними властивостями. [6]
Далі, неважко бачити, що межа однозв'язкової поверхні складається з однієї лінії. [7]
Зауважимо, що ця пропозиція є узагальненням попередньої властивості однозв'язкової поверхні . [8]
При вивченні руху суцільного середовища необхідно знати рух точок малої частинки середовища, яку подумки можна виділити за допомогою будь-якої однозв'язкової поверхні. Визначимо усунення точок частинки, використовуючи змінні Лагранжа. [9]
На кожному листі ми маємо т розрізів, а всього на листах тп розрізів, які перетворюють початкову риманову поверхню в однозв'язкових поверхонь. [10]
Основним геометричним чином, на якому побудовано все подальше, є односеязна поверхня. Однозв'язною поверхнею називається така поверхня, яку кожен проведений на ній розріз поділяє на частини, точки яких не можна з'єднати безперервною лінією, не переходячи через розріз. [11]
Рімана, через яку проходить система канонічних розрізів а, 6, з критичними точками ei та е2 і зробивши розрізи по цих лініях, отримаємо поверхню S із системою розрізів, як це показано на фіг. Якщо отриману однозв'язну поверхню безперервно відобразити на площину, то отримаємо багатокутник ( фіг. Кожна з вершин EI і Е %, що зображають точки et і ez, утворює по одному циклу, а всі інші вершини, що зображають одну точку, утворюють ще один цикл. 12]
Лінії, дотичні до яких у кожній їх точці збігаються з напрямкомрезультуючої осі обертання рідини, що обертається, називаються вихровими лініями. Сукупність вихрових ліній, що проходять через однозв'язкову поверхню, називається вихровою ниткою, шнуром, трубкою або, нарешті, просто вихре-м. Втім, вихором часто називають вихрову нитку разом з рідиною, що не обертається, - полем вихору. Іноді слово вихор вживається в одному сенсі з ротором. Циркуляцію навколо вихрової трубки називають напругою вихору. Вихор у вигляді поверхні називається вихровою пеленою; вона є поверхнею розриву швидкостей, так як швидкість при переході з одного боку цієї поверхні на іншу змінюється стрибком на кінцеву величину Дг, що дорівнює циркуляції на одиницю довжини Ду dF / ds ( фіг. [13]
Іншими словами, є лише два типи однозв'язкових поверхонь без кордону: 2-сфера та площина. [14]
Якщо al розрізів поділяє цю систему поверхонь на а2 однозв'язкових поверхонь , то число ах - а2 залежить від цього, як зроблені ці розрізи. [15]