Олімпіада з історії математики - Стародавня Греція
ВVI-Vстоліття до н.е. у трьох великих цивілізаціях давнини практично одночасно виникли філософські школи.
Якіфілософські школибули засновані в Китаї в цей час?
Конфуцій говорив, що у п'ятнадцять років він звернув свої помисли до навчання, а сорок – звільнився від сумнівів.
У якомувікуКонфуцій, за його словами, навчився відрізняти правду від брехні?
Якіфілософські вченнявиникли в цей час в Індії?
Грецька цивілізація булаєдиною, в якій математика виникла як наука.
Якіфілософські школивиникли в Греції? Назвіть їхзасновників.
Приступаючи до розгляду питання про коріннягеометрії яктеоретичної дисципліни, згадаємо про те:
а)Що древні греки називали теорією ?
б)Що древні греки називали теоремою?
в)Що древні греки називали лемою ?
У геометріїVI-Vстоліття ще не було сформованої системи аксіом.
Деякі факти спочатку представлялися очевидними, наприклад, рівність кутів на основі рівнобедреного трикутника .
Деякі ставали очевидними після додаткових побудов, наприклад, сума кутів трикутника дорівнює двом прямим.
Такі ж факти, як несумірність діагоналі та сторони квадрата
і зіткнення кола з прямою рівно в одній точці очевидними вважатися не могли.
Кількість і пряма мають єдину загальнуточку. Це твердження здавалося хибним деяким давньогрецьким філософам.
а)Згідно з школою Піфагора, є десять початків всього існуючого: непарне і парне, квадратне і довгасте і т.д.
Як на основі цієї таблиці протилежностей піфагорійці моглиобґрунтовувати(абоспростовувати) дане твердження?
б)Протагор ототожнював знання з відчуттям.Свідчить чиподібна думка на користь торкання кола і прямої в одній точці?
в)Демокріт стверджував, що все складається з атомів.
Що міг він написатиз питаннядотику кола та прямої?
Це - портрет вченого, який думав, що все складається з води.
б)Вкажіть приблизні роки його життя.
в)З якого міста він був родом?
г)Чому грецький вчений жив у Малій Азії?
д)Що відомо про життя цього вченого?
е)Які політичні події відбувалися в Аттиці (і/або ще десь) за його життя?
ВVI-Vстоліття до нашої ери ще не було аксіом, що описують пряму і площину. Геометрія розвивалася на реальних поверхнях, на яких могли бути нерівності.
а)Якимиметодамиміг користуватися Фалес для доказу рівності кутів на підставі рівнобедреного трикутника та другої ознаки рівності трикутників?
б)Чомувінне міг бидовестиперша ознакарівності трикутників?
Вченому, зображеному цьому портреті, приписують слова: «Все є число».
б)Вкажіть приблизні роки його життя.
в)Які драматичні події відбувалися в житті самого вченого? Чому йому довелося покинути Самос?
г)Які політичні події відбувалися під час життя цього вченого?
Найімовірніше, цей учений був причетний до створення:
•вчення про парні та непарні числа;
•теореми про співвідношення сторін у прямокутному трикутнику;
•метод визначення числових трійок;
•теорії фігурних чисел.
Якдовести теоремупро співвідношення сторін прямокутного трикутника, виходячи з йоготеорії пропорцій?
Які числа називалися трикутними? Які – прямокутними?
Докажіть, що прямокутне числодорівнюєподвоєному трикутному.
З часів Аристотеля в логіці застосовується закон виключеного третього, на підставі якого будується доказ від протилежного.Деякі сучасні математики та філософи знаходять його неприпустимим.
Чи можна без нього обійтися при вирішенні наступного завдання?
З піфагорійської арифметики
Розглянемо довільне число, що дорівнює добутку двох послідовнихнатуральних чисел, тобто. число видуn∙(n+1).
Як, використовуючи геометричне уявлення числаn∙(n+1)лічильних камінчиків,показати, що воноє парним , тобто. що відповідна конфігурація камінців завжди ділиться на дві рівні частини?
Слід шукати такий спосіб розподілу числаn∙(n+1)на дві рівні частини , який був биуніверсальним, тобто. не залежним від парності чи непарності числаn(припущення про парність чи непарність числаnрівносильне застосуванню закону виключеного третього).
У «Початках» Евклід систематизував основні факти, відомі на той час математичної науки.
Порівняйтеаксіоми та постулати Евкліда з аксіомами в сучасних підручниках геометрії.
Знайдіть три теореми, які доводяться так само, як і в сучасних підручниках.
Спробуйте знайти постулати або аксіоми, що не відповідають сучасним математично уявленням.
Завдання на екстремум зVIкниги «Почав» Евкліда.
З усіх паралелограмів, вписаних у даний трикутник, найбільшу площу має той, основа якого дорівнює половині основи трикутника.
Як вирішити їїбез допомоги похідної?
НазвітьтвірАрхімеда, в якому він намагався підрахувати кількість піщин, яке знадобилося б для заповнення Всесвіту.
Якйому це вдалося, якщо взяти до уваги, що буквена нумерація греків давала можливість запису чисел лише до10 6?
Відомо, що Архімед обчислював значення числа π вписуючи в коло і описуючи біля неї правильні 6-, 12-, 24-, 48- та 96-кутники.
СпробуйтеповторитиобчисленняАрхімеда, користуючись сучасною комп'ютерною технікою.Обчисліть якнайбільше десяткових знаків числа π .
Конічні перерізи було відкрито давньогрецьким математиком Менехмом і досліджено Аполлонієм Пергським. У своїй книзі «Конічні перерізи» він розглядав перерізи конуса довільнимиплощинами і сформулював теореми, що визначають, у якому разі перетин буде еліпсом, гіперболою або параболою.
Витончений доказ цих теорем було запропоновано в 1822 французьким інженером Данделеном. Ідею цього доказу можна зрозуміти з малюнка.
Спробуйтезакінчитидоказ.
Два кола однакового радіусу стосуються один одного. Навколо цих кіл описується еліпс, при цьому кола стосуються еліпса в кінцях його великої осі, а еліпс має найменшу малу вісь, таку що кола цілком лежать всередині нього. Знайдітьвідношення квадратіввеликої та малої осей еліпса.
Спробуйте вирішити їїчисто геометрично, не вдаючись до складних алгебраїчних обчислень.