Операції з відповідності
Можна сказати, що граф відповідностіf-1виходить із графа відповідностіfзміною напрямувсіхстрілок.
Наприклад, якщохfу⇔«прямахстосується колау», тоуf-1x⇔«колоустосується прямоїх».
Визначимо операцію композиції двох відповідностей:
Позначимо через графік композиції відповідностейfіg.
.
На мові графів це означає, що точки (х) і (z) з'єднуються стрілками в тому випадку, якщо з'єднані стрілками точки (х) і (у), (у) і (z).
Коротше -
Вправи
Дано дві множини:NіR.Задати різні бінарні відповідності між цими множинами різними способами.
Дано відповідність. Зобразити графік відповідності. Визначити область відправлення, область прибуття, область значень, область визначення.
Дано дві відповідності
і
.
Знайти композицію та побудувати її графік.
Властивості та типи відповідностей Види відповідностей
Відповідність називаєтьсявсюди визначеноюна множиніX, якщо:
а) , тобто: :у=f(x), або «мовою» повного образу елемента;
б) , або «мовою» графів;
в) з кожного елемента множиниXвиходить стрілка і приходить до Y.
Відповідність називаютьсюр'єктивною, якщо:
а) , тобто :хfу⇔у=f(x), або мовою повного прообразу;
б) , або «мовою» графів;
в) у кожний елемент множиниYприходить стрілка зX.
Якщоf― скрізь виразно наX, тоf-1― сюр'єктивна відповідністьYнаX, якщоf― сюр'єктивно, тоf-1всюди виразно наY.
Відповідністьfназиваютьфункціональною, якщо:
а)
Відповідністьfназиваєтьсяін'єктивною, якщо:
а) містить не більше одного елемента, тобто;
б) на «мові» графів це означає, що у кожний елемент множиниYприходить не більше однієї стрілки.
З цих визначень випливає, що відповідність, зворотне функціональному, ін'єктивно, а зворотне ін'єктивному функціонально.
Якщоfіg― всюди певні, функціональні, ін'єктивні та сюр'єктивні відповідності, то ― теж матиме всі ці властивості.
П р і м е р 1: Відповідність малюнку
а) не всюди визначено;
б) функціонально; в) ін'єктивно;
П р і м е р 2: НехайX- безліч студентів в аудиторії.Y- безліч стільців. Задамо відповідністьxfy«студентxсидить на стільціy».
Ця відповідність буде:
а) усюди певним, якщо кожен студент сидітиме;
б) сюр'єктивним, якщо всі стільці зайняті;
в) функціональним, якщо кожен студент не сидить на двох стільцях;
г) ін'єктивним, якщо на кожному стільці не сидять два студенти.
Приклад 3: Нехайхfу(у =sinх ),X=R,Y=R. Тоді графіком цієї відповідності буде синусоїда:
Відповідність це буде:
а) всюди визначено, оскільки :(у =sinх)(будь-яка пряма, паралельна осі ОY, перетинає графік функції хоча б в одній точці).
б)функціонально, оскільки складається з одного елемента (будь-яка пряма, паралельна осі ОУ, перетинає графік функції в єдиній точці).
в) не ін'єктивно, тому що , для якихR-1(у)складається більш ніж з одного елемента (існують прямі, паралельні осі ОХ, які перетинають графік багато разів).
г) не сюр'єктивно, оскільки , котрим немаєх: у=sinx(існують прямі, паралельні осі ОХ, які перетинають графік у жодній точці).
Розглянуті вище властивості відповідностей (ін'єктивність, сюр'єктивність тощо) дозволяють класифікувати всі відповідності на певні типи. Наведемо класифікацію відповідностей за властивостями як таблиці: