Основи формальної логіки - Студопедія

Розглянемо основні поняття логіки: судження, поняття, прості та складні висловлювання. За допомогоюпонять ми розкриваємо значення природних або штучних знаків, вказуємо класи, до яких належать або не належать мислимі речі. Розумовий розвиток – це здатність переосмислювати старі та конструювати нові поняття. Тільки поняття роблять нашу промову осмисленою. Ми маємо поняття про деяку річ, якщо знаємо і можемо словесно висловити, які умови необхідні і достатні для її однозначного визначення.

Умова, яка визначає певний клас речей, називається необхідною, якщо всі речі з цього класу і, можливо, деякі речі з його доповнення задовольняють цю умову. Умова, що визначає певний клас речей, називається достатньою, якщо деякі (можливо і всі) речі з цього класу задовольняють цій умові, але жодна річ із доповнення класу не задовольняє йому.

У термінах властивостей можна визначити необхідність деякого умови так: якщо деяка річ неспроможна існувати без цієї властивості, це властивість необхідне її існування. Якщо ж із існування деякої якості можна дійти невтішного висновку про існування певної речі, це властивість досить цієї речі.

Судження дозволяють нам висловити різноманітні стосунки між можливими речами. Ми маємо судження про деяку річ, якщо можемо висловити словесно її ставлення до іншої речі чи себе самої. Основна мовна форма судження - оповідальна пропозиція. Судження може бути істинним, хибним чи невизначеним. Судження (висловлювання) є простим, якщо жодна його частина не може розглядатися як судження. Прості судження прийнято позначати літерами: А, B, C, D

Будь-яке просте судження складається з 4-х функціонально помітних елементів:

1) суб'єкта судження (S) - клас речей, про який щось стверджується;

2) предикату судження (P) – клас речей, що затверджується щодо суб'єкта; предикат виражає те, що затверджується щодо S;

3) ствердної або негативної зв'язки «є» або «не є», яка ставиться між S та P;

4) слів «все», «деякі», «жоден», які ставляться перед суб'єктом.

(8.1)

Якщо просте судження має форму, відмінну від (1), його можна перетворити до цієї формі.

Усі прості судження класифікуються як ствердні та негативні, які, у свою чергу, діляться на загальні та приватні: «Усі студенти ходять на лекції», «Деякі викладачі читають детективи», «Жодна людина не хоче бути нещасливою», «Деякі фрукти не ростуть в Україні».

Міркування істинно, якщо в ньому затверджується зв'язок між об'єктом і ознакою, що має місце насправді, або заперечується зв'язок, що не має місця насправді.Суждження хибно, якщо у ньому затверджується зв'язок між об'єктом і ознакою, що не має місця насправді, або заперечується зв'язок, який має місце насправді. Істину і брехню позначають по–різному: 1 чи 0, T чи F (від англійського True і False), І чи Л. Ми будемо користуватися позначенням 1, якщо судження істинно: A =1. Помилкове судження позначимо нулем: B =0.

Складні міркування складаються з кількох простих, з'єднаних різними логічними спілками: «невірно, що A», «B і C», «A або D», «якщо B, то C», «або А або В». Наприклад, «сьогодні тихо та похмуро». Складні судження можна висловити через прості, але з навпаки.

Зв'язка "не А" або "невірно, що A" називаєтьсязапереченням. Заперечення судження А є істинним, якщо А є хибним, і хибним, якщо А є істинним. Позначають заперечення судження А як "не А" або , або not (A). Правила обчислення логічної операції «заперечення» можна поставити за допомогою таблиці:

Aне А

Зв'язка «і» називаєтьсякон'юнкцією висловлювань A і B і набуває значень істина, тільки коли обидва висловлювання істинні, в інших випадках кон'юнкція набуває значення брехня. Позначають кон'юнкцію суджень A і B як A&B, A and B (у програмуванні), A B (у підручниках з логіки). Правила обчислення кон'юнкції поставимо за допомогою таблиці істинності:

ABA Ù B

Кон'юнкцію іноді називають логічним множенням: результат у третьому стовпці формально можна отримати як добуток чисел з 1-го та 2-го стовпців.

Логічно зв'язка "або" називається диз'юнкцією.Диз'юнкція двох висловлювань А і В приймає значення «істина», якщо хоча б одне з висловлювань істинно, і значення «брехня», якщо обидва висловлювання хибні. Для диз'юнкції використовують позначення A Ú B, у програмуванні використовують позначення A or B. Таблиця істинності для диз'юнкції має вигляд:

ABA Ú B

Диз'юнкцію іноді називають логічним додаванням. Зв'язка «чи» у диз'юнкції немає виняткового характеру. У логіці використовується так званасильна диз'юнкція (що виключає або), яка українською мовою виражається за допомогою зв'язки «або А, або В». Вона має винятковий характер, т.к. набуває значення істина, коли операнди мають різне логічне значення. Позначається у програмуванні як A xor B; таблиця істинності має вигляд:

ABA xor B

Вочевидь, що кон'юнкція, диз'юнкція і сильна диз'юнкція є комутативними операціями, тобто.

AÙB = BÙA; AUB = BÚA; A xor B = B xor A.

Справедливість цих формул випливає із таблиць істинності: при перестановці перших двох стовпців таблиці ми отримаємо в третьому стовпці значення, що збігаються зі значеннями третього стовпця вихідної таблиці. Складні судження еквівалентні, якщо вони набувають однакових логічних значень при однакових значеннях простих висловлювань, що входять до них.

Логічна зв'язка «якщо…, то…» називаєтьсяімплікацією. Імплікація висловлювань «якщо A, то В» набуває значення брехня тільки в одному випадку, коли А істинно, а В помилково. Імплікація позначається як AB. Судження А називається посилкою, В наслідок. Іноді використовуються терміни антецедент для посилки А і консеквент – для укладання В. Таблиця істинності для імплікації має вигляд:

ABA ®B

Імплікація не має властивості комутативності. Це випливає з таблиці істинності: якщо переставити стовпці 1 і 2, то значення третьому стовпці зміняться. Багато теорем у математиці мають форму імплікації. При доказі теорем виду A ®B ми доводимо, що ситуація, у якій з правильної посилки А можна вивести хибне висновок, неможлива. Наприклад, «Якщо числовий ряд сходиться, його n–ый член прагне нулю». Якщо теорема A ®B має місце, то кажуть, що є логічним наслідком А.

Еквіваленція - це логічна зв'язка, яка виражається словами «А тоді і тільки тоді, коли В», «для А необхідно і достатньо». Еквіваленція позначається як А«В і виражається через імплікацію та кон'юнкцію:

Еквіваленція набуває значення істина у разі, коли обидва висловлюваннямають однакові значення. Таблиця істинності для еквіваленції має вигляд:

ABA « B

Багато теорем у математиці мають форму еквіваленції. Такі теореми називають критеріями. Наприклад, «Скалярний добуток ненульових векторів P і Q дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці вектори перпендикулярні».

З кількох простих висловлювань з допомогою логічних операцій можна скласти складніші висловлювання. Для визначення порядку виконання логічних дій можна використовувати круглі дужки. Для однозначного прочитання логічних виразів прийнято наступний пріоритет виконання операцій (перераховані в порядку зменшення пріоритету): заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція, сильна диз'юнкція, імплікація, еквівалентність. Заперечення – «найсильніша» операція. Наприклад,

А В В С = (А В В) В С; ∆В ® С = (( ) ∆В) ® С;

За допомогою знака = (рівно) будемо позначатирівносильні висловлювання – висловлювання, які набувають однакових логічних значень при однакових значеннях простих висловлювань, що входять до них. Логічне значення складного висловлювання визначається логічними значеннями простих висловлювань, що входять до нього. Наприклад, потрібно обчислити логічне значення складного висловлювання «не (А В) Ú (не С)» у разі, якщо А = 1, В = 1, С = 0. Підставимо місце простих висловлювань їх значення. Тоді А В = 1, не (А В) = 0, (не С ) = 1, диз'юнкція 0 Ú 1 = 1. Задане висловлювання істинно при заданих значеннях А, В, С.

Для визначення всіх можливих значень складного висловлювання, залежно від всіляких значень елементарних висловів, що входять до нього, можна побудувати таблицю істинності. У цій таблиці для кожного простого висловлювання, що входить до заданого складноговисловлювання, треба створити окремий стовпець. Потім потрібно заповнити рядки таблиці для найпростіших висловлювань всілякими комбінаціями їх логічних значень. Якщо число простих висловлювань дорівнює n, таких комбінацій буде 2 n . Потім треба уявити складне висловлювання як комбінації простіших, але й складних висловлювань і завести кожному з них свій стовпець. Один стовпець (зазвичай останній) заводимо для заданого висловлювання. Заповнюємо усі рядки отриманої таблиці. Наприклад, нехай задано висловлювання (формула)

не А Ú В ® А Ù не В.

Потрібно скласти для цього висловлювання таблицю істинності. Запишемо цю формулу із застосуванням дужок: ((не А) ЕВ) ® (А Ù (не В)). У таблиці буде чотири рядки, т.к. найпростіших висловлювань два: А і Ст.

АУне Ане Вне А Ú ВА Ù не В(не А Ú В) ® (А Ù не В)

Зазначимо, що задана формула еквівалентна формулі «не (А ® В)» (див. таблицю істинності для імплікації), оскільки набуває однакових з нею логічних значень при однакових значеннях простих суджень, що входять до цих формул.

Перелічимо основні правила перетворення логічних виразів. Ці правила використовуються для спрощення заданих формул з метою отримання більш простих і еквівалентних їм виразів.

1) = А (закон подвійного заперечення).

2) А Ú = 1 (закон виключеного третього)

9) А = 0

10) А Ù (В Ú А) = А

11) АВ (У ? А) = А

Правила вираження одних логічних операцій через інші:

1) А ® В = Ú В

2) (закон де Моргана)

3) (закон де Моргана)

У логіці доводиться теорема, у якій стверджується, що це логічні операції можна висловити через заперечення,кон'юнкцію та диз'юнкцію. Говорять, що ці операції утворюють повну систему логічних операцій.

Для операцій кон'юнкції та диз'юнкції мають місце властивості комутативності, асоціативності та дистрибутивності:

1) А В = В = А; - Комутативність.

2) АВ = ВА; - Комутативність.

3) А? (В? С) = (А? В)? С; - асоціативність.

4) АВ ( УС) = ( АВ) УС; - асоціативність.

5) А ? (В ? С) = (А? В) ? - Дистрибутивність.

6) АВ (У УС) = (АВ) Ù (А УС); - Дистрибутивність.

Розглянемо приклад рівносильних перетворень. Спростити формулу, використовуючи перелічені вище властивості та правила перетворення логічних виразів:

Виконаємо ланцюжок рівносильних перетворень:

.

У XX столітті у математичній логіці відбулися важливі зміни: вперше з часів свого виникнення логіка стала багатозначною. У багатозначній логіці висловлювання можуть мати більше двох істинних значень. У 1920 р. Ян Лукасевич розробив тризначну логіку. У ній висловлювання можуть набувати трьох значень: «істина», «брехня» і «може бути» чи «невизначено». У такій логіці не діє закон виключеного третього. У 1921 р. е. пост висунув ідею багатозначної логіки. У k – значній логіці висловлювання можуть набувати значення від 0 до до-1, де k=3,4, 5… тощо.

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно