Основи механіки - похибки
,%
2.1.4. Приладова похибка
Насправді іноді доводиться обмежуватися лише одним виміром. Тоді похибки оцінюють з ціни найменшого поділу шкали. Так як половину розподілу шкали зазвичай неважко оцінити візуально, то помилка виміру за допомогою даного приладу не перевищує половини значення одного розподілу.
Так, наприклад, при вимірюванні температури термометром, розділеним на 0.1 оС, помилкуDtпри одноразовому спостереженні приймають ± 0.05 о.
Отже, при одноразовому вимірі абсолютна похибка становить половину точності приладу.
Приклад.:Нехай потрібно виміряти атмосферний тискРртутним барометром, шкала якого поділена на міліметри. Спостерігаючи один раз знаходять, що тиск дорівнює 748 мм рт. ст. Зважаючи на вищесказане, маємоDР= 0.5 мм рт. ст. Отже, можна записати:
Відносна помилка у разі буде невелика; справді,
2.2. Похибки непрямих вимірів
Розберемо наступний конкретний приклад: дано циліндр із деякого матеріалу (алюміній), потрібно визначити щільність цього матеріалу.
Ми знаємо, що щільністьrчисельно дорівнює відношенню маси тілаmдо об'ємуV:
Для циліндра, діаметр якогоD, а висотаh, обсяг визначається виразом
Оскільки справжні значенняm, Dіhневідомі, то величинуrсробчислюють за ф. (7) за середніми значеннямиmср, Dсрі hср(розрахованим за ф. (1)).
Як знайти помилку, допущену принепрямомувизначенніщільності, якщо три виміряні безпосередньо величини мають помилки виміру (див. ф. (3)):масаmвиміряна з абсолютною помилкоюDmср, діаметрD—з помилкоюDDср,,а висотаh— з помилкоюDhср.
2.2.1. Функція однієї змінної
Для вирішення цього питання в загальному вигляді розглянемо спочатку випадок функції однієї змінної, тобто обумовлена непрямовеличинаYпов'язана функціональною залежністю зx, яка доступнапрямомувиміру. Тоді з теорії диференціального обчислення отримуємо:
середняабсолютна помилка непрямого вимірувеличини, яка залежить від однієїбезпосередньовимірюваної величини (функції одного аргументу) дорівнюєпохідної цієї функції(обчисленою за середніми значеннями аргументу), помноженоюна середню абсолютну помилку аргументу.
Відносна помилка обчислюється як і у разі прямих вимірів (див. ф. (6)):
Приклад 2.1.Нехай потрібно визначити прискорення вільного падіння з формули математичного маятника[4]:
!
Нехай при цьому довжина маятникаlвимірюється один раз з точністю, що значно перевищує точність вимірювання періодуT, тому можна вважати, щоgє функцією однієї змінноїТ.Тоді з ф. ф. (8, 9) слід (без урахування знаку похідної):
2.2.2. Функція кількох змінних
Розглянемо тепер випадок, коли шукана величина визначається черезбезпосередньовимірювані величиниx1,x2, …,xn, тоді:
Можна показати, що повна помилкаDYдорівнює сумі абсолютних значеньприватнихпомилок, пов'язаних з помилками у вимірах окремих величинxi(6), т. к. (без урахування знака приватних похідних):
середняабсолютна помилка непрямого вимірувеличини, яка залежить від декількохбезпосередньовимірюваних величин (функції кількох аргументів) дорівнюєповному диференціалу функції, де збільшення d замінені наDср, а похідні обчислюються за середніми значеннями аргументів:
(Треба помітити, що ф. (12) збігається з ф. (9), якщо прийнятиn=1).
Відносна помилка обчислюється як і у разі прямих вимірів (див. ф. (6)):
Таким чином, рекомендується наступний порядок обчислення помилок середнього результату величини, що визначається.
1. За даними досвіду обчислюють середні значення кожної безпосередньо вимірюваної величини (xсрі) та абсолютні помилки цих величин(Dxcрі).