Введення в аналіз
Теорія черг (СМО)
Основна теорема алгебри та її наслідки
Основна теорема алгебри. Кожен багаточлен, ступінь якого не менше одиниці, має хоча б один корінь, у загальному випадку комплексний.
Наслідок 1. Будь-який багаточлен ступеня 1" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAA AAACTSURBVBjTY2AgETjgEGc+pIBDRm0iigzXYgSbEVXPsmZUGebdDpd0oFKTUWQ4nbILGg0gAocmI8uYMYkwHCyAihRNR5IxZ9zA0Ah3frUKkgscLzCkwa коефіцієнтами можна у вигляді твори лінійних двочленів:
де - Коріння многочлена кратності відповідно, причому . Іншими словами, многочлен n-го ступеня має рівно коріння, якщо кожен корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.
Наслідок 2. Якщо многочлени і , ступеня яких перевершують , мають рівні значення більш як за різних значеннях змінної , ці багаточлени рівні: .
Насправді, за умовою багаточлен має більш ніж коріння, хоча його ступінь менший або дорівнює , що суперечить слідству 1 з основної теореми алгебри. Отже, це багаточлен нульового ступеня. Оскільки він має коріння, то . Отже, , тобто .
Це слідство дозволяє розглядати многочлен не як формальний вираз виду (В.8), а як функцію змінної, оскільки рівність багаточленів,певне вище як рівність коефіцієнтів при однакових ступенях , збігається (з слідства 2) з поняттям рівності двох функцій за всіх значеннях .
Розглянемо многочлен із дійсними коефіцієнтами. Розкладання (Ст. 13) для цього багаточлена має вигляд
де — коріння багаточлена (може бути комплексне).
Якщо комплексне число є коренем цього багаточлена, тобто
то сполучене число також його корінням, тобто. . Це випливає з рівності. Оскільки числа і є корінням многочлена, він ділиться (без залишку) на твір
Оскільки сума і добуток сполучених чисел є дійсними числами, то права частина останньої рівності є квадратний тричлен із дійсними коефіцієнтами. Причому, якщо дискримінант цього квадратного тричлена негативний.
Наслідок 3. Якщо комплексне (але не дійсне) число — корінь багаточлена з дійсними коефіцієнтами, то сполучене число є його коренем тієї ж кратності.
Справді, якщо корінь кратності , то йому виконуються умови (В.12)
слід, що - корінь тієї ж кратності.
Наслідок 4. Кожен багаточлен із дійсними коефіцієнтами подається у вигляді добутку лінійних двочленів та квадратних тричленів (з негативними дискримінантами):
де - дійсне коріння кратності, причому.
Наслідок 5. Багаточлен непарного ступеня із дійсними коефіцієнтами завжди має хоча б один дійсний корінь.
Багаточлен парного ступеня з дійсними коефіцієнтами може не мати дійсних коренів (при цьому в розкладанні (ст. 14) відсутні лінійні двочлени).
Приклад В.14. Багаточлен
а) подати у вигляді (В.14);
б) подати у вигляді(В.13).
Рішення. Цей многочлен має подвійне коріння і простий корінь (див. приклад В.13). Тому його можна подати у вигляді
Розділимо багаточлен на багаточлен "куточком":
Отже, маємо . Це розкладання має вигляд (Ст.14), оскільки дискримінант квадратного тричлена негативний, що й вимагалося в пункті "а";
б) розкладемо квадратний тричлен на лінійні множники, що можливе над полем комплексних чисел:
так як рівняння має два комплексні корені.
Тоді розкладання (Ст. 13) для даного багаточлена набуває вигляду
Відповідно до слідства 1, багаточлен має один подвійний корінь, один простий дійсний корінь і пару простих сполучених коренів, тобто всього 5 коренів (з урахуванням їхньої кратності).
|