Основні ознаки подільності
Ознака Паскаля - метод, що дозволяє одержати ознаки поділення на будь-яке число.
Нехай є натуральне число , що записується в десятковій системі обчислення як , де одиниці, десятки і т. д.
Нехай - довільне натуральне число, на яке ми хочемо ділити і виводити ознаку поділення на нього.
Знаходимо ряд залишків за такою схемою:
— залишок від поділу на
— залишок від поділу на
— залишок від поділу на
- Залишок від розподілу на.
Так як залишків кінцеве число (а саме ), то цей процес зациклиться (не пізніше, ніж через кроків) і далі можна його не продовжувати: Починаючи з деякого , де - період послідовності, що вийшов. Для однаковості можна прийняти, що.
Тоді має той самий залишок від розподілу, на що і число
Основні окремі випадки виведення ознак подільності для різних чисел:
Ознака ділимості на 2
Тут. Оскільки , то. Звідси одержуємо відомий ознака: залишок від розподілу числа на 2 дорівнює залишку від розподілу його останньої цифри на 2, або зазвичай: число ділиться на 2, якщо його остання цифра парна.
Ознаки подільності на 3 та 9
Тут чи. Так як (залишок від розподілу 10 як на 3, так і на 9 дорівнює 1), то все. Отже, залишок від розподілу числа на 3 (або на 9) дорівнює залишку від розподілу його суми цифр на 3 (відповідно, 9), або інакше: число ділиться на 3 (або 9), якщо його сума цифр ділиться на 3 (або 9) ).
Ознака ділимості на 4
Тут. Знаходимо послідовність залишків:. Звідси отримуємо ознаку: залишок від розподілу числа на 4 дорівнює залишку від розподілу на 4, або, помітивши, що залишок залежить тільки від 2 останніх цифр: число ділиться на 4, якщо число, що складається з 2 останніх цифр, ділиться на 4.
Ознака ділимості на 5
Тут. Оскільки , то. Звідси отримуємо відому ознаку: залишок від розподілу числа на 5 дорівнює залишку від розподілу його останньої цифри на 5, або зазвичай: число ділиться на 5, якщо його остання цифра - 0 або 5.
Ознака ділимості на 7
Тут. Знаходимо рештки.
6. , цикл замкнувся.
Отже, для будь-якого числа його залишок від розподілу на 7 дорівнює
Розглянемо число 48916. За доведеним вище,
, Отже, 48916 ділиться на 7.
Ознака ділимості на 11
Тут. Так як, то все, а. Звідси можна отримати просту ознаку ділимості на 11: залишок від розподілу числа на 11 дорівнює залишку від розподілу його суми цифр, де кожна непарна (починаючи з одиниць) цифра взята зі знаком «—», на 11. Простіше кажучи: якщо розбити всі цифри числа на 2 групи - через одну цифру (в одну групу потраплять усі цифри з непарними позиціями, в іншу - з парними), скласти всі цифри в кожній групі і відняти дві отримані суми одна з одної, то залишок від поділу на 11 результату буде такий самий , що у початкового числа.
2. Ознаки подільності
Ознака ділимості — правило, що дозволяє порівняно швидко визначити, чи число кратним заздалегідь заданому числу без необхідності виконувати фактичний поділ. Правило, засноване на діях із цифрами із запису числа у позиційній системі числення (зазвичай десяткового).
2. 1. Основні ознаки подільності.
У математиці існує п'ять основних ознак подільності. Це ознаки подільності на: 2, 3, 5, 9 та 10.
Ознака ділимості на 2
Число ділиться на 2, якщо число закінчується парною цифрою чи нулем.
Наприклад: Число 248 буде ділитися на 2, тому що наприкінці цього числа стоїть парна цифра 8.
Число не розділиться на 2, якщо число закінчуєтьсяна непарну цифру.
Наприклад: Число 235 не розділиться на 2, тому що на кінці цього числа стоїть непарна цифра.
Ознака ділимості на 3
Число ділиться на 3 якщо сума цифр числа ділиться на 3.
Наприклад: Число 342 (3 + 4 + 2 = 9) буде ділитися на 3, оскільки сума його цифр дорівнює 9, а число 9 ділиться на 3.
Число не ділиться на 3, якщо сума цифр не ділиться на 3.
Наприклад: Число 526 (5 + 2 + 6 = 13) не розділиться на 3, оскільки сума цифр цього числа дорівнює 13, а 13 не поділяється на 3.
Ознака ділимості на 5
Число ділиться на 5, якщо остання цифра числа 0 чи 5.
Наприклад: Число 675 буде ділитися на 5, тому що на кінці цього числа стоїть цифра 5.
Число не ділиться на 5, якщо на кінці не стоїть ні 0, ні 5.
Наприклад: Число 456 не розділиться на 5, тому що на кінці цього числа не стоїть ні 5, ні 0.
Ознака ділимості на 9
Число ділиться на 9, якщо сума цифр числа ділиться на 9.
Наприклад: Число 963 (9 + 6 + 3 = 18) буде ділитися на 9, оскільки сума цифр цього числа дорівнює 18, а число 18 ділиться на 9.
Число не розділиться на 9, якщо сума цифр не ділиться на 9.
Наприклад: Число 735 (7 + 3 + 5 = 15) не розділиться на 9, оскільки сума цифр цього числа дорівнює 15, а число 15 не поділяється на 9.
Ознака ділимості на 10
Число ділиться на 10, якщо остання цифра числа нуль.
Наприклад: Число 840 ділитися па 10, так як це число закінчується на нуль.
Число не ділиться на 10, якщо остання цифра числа не є нулем.
Наприклад: Число 123 не ділиться на 10, так як це число не закінчується на нуль.
Ці ознаки ділимості проходять за шкільною програмою. У наступному розділі я розгляну додаткові ознаки поділення.
2. 2. Додаткові ознаки подільності
У роботі я поставила собі завдання ознайомитися з додатковими ознаками ділимості. Тут я перерахую ті ознаки ділимості, які дізналася додатково.
Ознака ділимості на 4
Число ділиться на 4, якщо останні дві цифри числа нулі або утворюють число, яке ділиться на 4.
Наприклад: Число 328 ділитися 4, так як дві останні цифри цього числа утворюють число 28, яке розділиться на 4.
Число не розділиться на 4, якщо дві останні цифри цього числа не утворюють число, яке ділиться на 4 або на кінці його не коштує два нулі.
Наприклад: Число 567 не розділиться на 4, оскільки дві останні цифри цього числа - 67, вони утворюють число, яке не розділиться на 4.
Ознака ділимості на 6
Число ділиться на 6, якщо воно ділиться на 2 і на 3.
Наприклад: Число 642 (6 + 4 + 2 = 12) буде ділитися на 6, оскільки сума цифр цього числа ділиться на 3, і воно закінчується на парну цифру.
Число не ділиться на 6, якщо воно не ділиться ні на 2, ні на 3 (тільки на 2, тільки на 3).
Наприклад: Число 749 (7 + 4 + 9 = 20) не розділиться на 6, так як сума цифр цього числа дорівнює 20, а 20 не ділиться на 3, так як це число закінчується на непарну цифру (отже, не ділиться на 2 ).
Ознака ділимості на 7
Число ділиться на 7, якщо різниця між числом десятків та подвоєною цифрою одиниць ділиться на 7.
Наприклад: Число 707 буде ділитися на 7, тому що число десятків цього числа дорівнює 70, а подвоєне число одиниць 14. У різниці цих чисел (70 - 14 = 56) виходить число, що ділиться на 7.
Число не розділиться на 7, якщо різниця між числом десятків та подвоєною цифрою одиниць не ділитиметься на 7.
Наприклад: Число892 не розділиться на 7, оскільки число десятків цього числа 89, а подвоєне число одиниць дорівнює 4. У різниці цих чисел (89 - 4 = 85) виходить число, яке не розділиться на 7.
Ознака ділимості на 8
Число ділиться на 8, якщо останні три цифри числа нулі або утворюють число, що ділиться на 8.
Наприклад: Число 1848 буде ділитися на 8, оскільки три останні цифри даного числа утворюють число - 848, яке поділяться на 8.
Число не розділиться на 8, якщо останні три цифри цього числа не утворюють число, яке ділиться на 8 або на кінці його не коштує три нулі.
Наприклад: Число 2679 не розділиться на 4, оскільки останні три цифри цього числа - 679, а 679 не ділиться на 8.
Ознака ділимості на 11
Число ділиться на 11, якщо різниця між сумою цифр числа, що стоять на непарних місцях, та сумою цифр, що стоять на парних місцях, ділиться на 11.
Наприклад: Число 1925 буде ділитися на 11, оскільки різниця між сумою цифр числа, що стоять на непарних місцях, і сумою цифр, що стоять на парних місцях (9 + 5) – (1 + 2) = =11), 11 ділиться на 11.
Число не розділиться 11, якщо різниця між сумою цифр числа, що стоять на парних місцях, та сумою цифр числа, що стоять на парних місцях, не розділиться на 11.
Наприклад: Число 6817 не розділиться на 11, оскільки різниця між сумою цифр числа, що стоять на непарних місцях, і сумою цифр, що стоять на парних місцях (8 + 7) – (6+1) = 8, 8 не розділиться на 11.
Ознака ділимості на 12
Число ділиться на 12, якщо число ділиться на 4 і на 3.
Наприклад: Число 2028 (2 + 0 + 2 + 8) ділиться на 12, тому що сума цифр цього числа ділиться на 3, і останні дві цифри цього числа - 28, 28 ділиться на 4.
Число не розділиться на 12, якщо число не ділиться ні на 4, ні на3 (лише на 3, лише на 4).
Наприклад: Число 5897 (5 + 8 + 9 + 7 = 29) не розділиться на 12, тому що сума цифр цього числа не ділиться на 3, а останні дві цифри цього числа - 97, 97 не ділиться на 4.
Ознака ділимості на 13
Число ділиться на 13, якщо число його десятків, складене з вченим числом одиниць, ділиться на 13.
Наприклад: Число 845 (84 + (4 × 5) = 104) буде ділитися на 13, тому що число його десятків, складене з врахованою кількістю одиниць, ділиться на 13.
Число не розділиться на 13, якщо число його десятків, складене з вченим числом одиниць, не ділиться на 13.
Наприклад: Число 678 (67 + (8 × 4) = 99) не поділяється на 13, оскільки число його десятків, складене з вченого числом одиниць, не ділиться на 13.
Ознака ділимості на 14
Число ділиться на 14, якщо число ділиться на 2 і 7.
Наприклад: Число 784 буде ділитися на 14, оскільки різницю між числом десятків і подвоєною цифрою одиниць (78 – (4×2) = 70) ділиться на 7, і наприкінці цього числа стоїть парна цифра.
Число не розділиться на 14, якщо число не ділиться ні на 2, ні на 7 (тільки на 2 тільки на 7).
Наприклад: Число 563 не розділиться на 14, оскільки різниця між числом десятків і подвоєною цифрою одиниць (56 – (3×2) = 50) не ділиться на 7, і наприкінці цього числа стоїть непарна цифра.
Ознака ділимості на 15
Число ділиться на 15, якщо число ділиться на 3 і 5.
Наприклад: Число 315 (3 + 1 + 5 = 9) буде ділитися на 15, тому що сума цифр цього числа ділиться на 3 і воно закінчується цифрою 5.
Число не розділиться на 15, якщо число не ділиться ні на 3, ні на 5 (тільки на 3 тільки на 5).
Наприклад: Число 677 (6 + 7 + 7 = 20) не розділиться на 15, оскільки сума цифр цього числа не ділитьсяна 3 і це число не закінчується ні цифрою 5, ні цифрою 0.
Ознака ділимості на 19
Число ділиться на 19, якщо його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, ділиться на 19.
Наприклад: Число 646 (64 + (6×2) = 76) буде ділитися на 19, оскільки число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, ділиться на 19.
Число не розділиться на 19, якщо його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, не ділиться на 19.
Наприклад: Число 789 (78 + (9×2) = 96) не розділиться на 19, оскільки число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, не поділяється на 19.
Ознака ділимості на 23
Число ділиться на 23, якщо число його сотень, складене з потрійним числом десятків, ділиться на 23. продовжуємо 4+ (3×14) = 46) ділиться на 23.
Число не розділиться на 23, якщо його сотень, складене з потрійним числом десятків, не ділиться на 23.
Наприклад: Число 34567 не розділиться на 23, так як число його сотень, складене з потрійним числом десятків (345 + (3 67) = 546 продовжуємо 5 + (3 46) = 143) не ділиться на 23.
Ознака ділимості на 25
Число ділиться на 25, якщо дві останні цифри числа нулі або утворюють число, що ділиться на 25.
Наприклад: Число 675 буде ділитися на 25, тому що дві останні цифри цього числа - 75, 75 ділиться на 25.
Число не розділиться на 25, якщо останні дві цифри утворюють число, яке не ділиться на 25.
Наприклад: Число 987 не розділиться на 25, оскільки дві останні цифри цього числа - 87, 87 не поділяється на 25.
Ознака подільності на 99
Розіб'ємо число на групи по дві цифри праворуч наліво (у самій лівій групі можебути одна цифра) і знайдемо суму цих груп, вважаючи їх двоцифровими числами. Ця сума поділяється на 99, якщо саме число поділяється на 99.
Наприклад: Число 80909037 буде ділитися на 99, тому що 80 + 90 + 90 + 37 = 297 розділиться на 99.
Ознака ділимості на101
Розіб'ємо число на групи по дві цифри праворуч наліво (в самій лівій групі може бути одна цифра) і знайдемо суму цих груп зі змінними знаками, вважаючи їх двоцифровими числами. Ця сума ділиться на 101, якщо саме число ділиться на 101.
Наприклад: Число 590547 буде ділитися на 101, оскільки 59 - 05 + 47 = 101 ділиться на 101.
Також існують ознаки подільності на 2 n, 5 n, 10 n , 10 n - 1, 10 n + 1.
3. 1. Розкладання на прості множники.
Розкладання на прості множники – одна з операцій, де використовуються ознаки подільності. Якщо ми знаємо ознаки ділимості такі числа як: на 2, на 3, на 7, на 11, на 13 тощо. буд., то розкладати числа на прості множники значно легше.
Наприклад: Розкладання на прості множники числа 600: 600/2. Тут я використовую ознаки подільності на 2, на 3 та на 5. 300/2
3. 2. Знаходження НОК та НОД
Ознаки ділимості також допомагають знайти Найменшого Загального Кратного (НОК) і Найбільшого Загального Дільника (НОД).
Я знаю, що один із способів знаходження НОК (так само як і НОД) – це розкладання чисел на прості множники (про це в попередньому пункті), тому на НОК я докладно зупинятись не буду.
НОД також можна швидко знайти за допомогою ознак подільності.
Наприклад: НОД(36;12) = 12. Застосовуються ознаки ділимості: на 2, 3, 4, 6, 9, 12.
3. 3. Скорочення дробів
Скорочення дробів пов'язане зі знаходженням НОД (про це в попередньому пункті) Отже, це поняттятакож пов'язані з ознаками ділимості.
Наприклад: Скорочуємо дріб 28/35, НОД(28,35) = 7, виходить такий запис: 28/35 = 4/5.
3. 4. Порівняння дробів
Порівняння дробів також пов'язане з ознаками подільності. У порівнянні з дробами мені допомагає НОК.