Основні види математичних моделей - Студопедія
Створення деякої універсальної моделі, що відповідає різним аспектам її застосування, практично неможливе. Для отримання інформації, що відображає ті чи інші властивості об'єкта, що керується, необхідна класифікація моделей. В основі класифікації лежать особливості оператораφ.Все різноманіття об'єктів управління, виходячи з тимчасової та просторової ознак, можна розділити на такі класи: статичні чи динамічні; лінійні чи нелінійні; безперервні чи дискретні у часі; стаціонарні чи нестаціонарні; процеси, під час яких їх параметри змінюються у просторі, та процеси без просторової зміни параметрів. Оскільки математичні моделі є відбитком відповідних об'єктів, то їм характерні самі класи. Повне найменування моделі може включати сукупність перелічених ознак. Ці ознаки стали основою назви відповідних типів моделей.
Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі всі моделі можуть бути поділені на такі види:
Детерміновані моделі- відображають детерміновані процеси, тобто процеси, в яких передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів.
Стохастичні моделі– відображають імовірнісні процеси та події; у разі аналізується ряд реалізацій випадкового процесу, і оцінюються середні характеристики.
Стаціонарнітанестаціонарні моделі.Модель називається стаціонарною, якщо вид оператора φ та його параметри p не змінюються в часі, тобто коли справедливо
Якщо параметри моделі змінюються в часі, то модель є
Найзагальніший вид нестаціонарності - коли від часу залежить і вид функції. Тоді в записфункції додається ще один аргумент
Статичні та динамічні моделі.В основі такого поділу типів моделей лежать особливості руху досліджуваного об'єкта як матеріальної системи.
Говорячи про моделі з позицій завдань управління, слід зазначити, що під простором тут розуміється не геометричний простір, а простір станів – координат станів вихідних змінниху. Елементами вектораy є зазвичай контрольовані технологічні параметри (витрата, тиск, температура, вологість, в'язкість і т.д.). Склад елементів вектораy для об'єкта може бути ширше, ніж для моделі цього об'єкта, оскільки при моделюванні потрібно вивчення лише частини властивостей реальної системи. Рух об'єкта управління у просторі станів і часу оцінюється з допомогою векторного процесу y(t).
Модель системи називаєтьсястатичною, якщо стан системи не змінюється, тобто система знаходиться в рівновазі, але рух пов'язаний зі статичним станом об'єкта, що знаходиться в рівновазі. Математичний опис у статичних моделях не включає час як змінну і складається з рівнянь алгебри або диференціальних рівнянь у випадку об'єктів з розподіленими параметрами. Статичні моделі зазвичай є нелінійними. Вони точно відбивають стан рівноваги, викликане переходом об'єкта від одного режиму до іншого.
Динамічнамодель відображає зміну стану об'єкта у часі. Математичне опис таких моделей обов'язково включає похідну у часі. Динамічні моделі використовують диференціальні рівняння. Точні рішення цих рівнянь відомі лише деякого класу диференціальних рівнянь. Найчастіше доводиться вдаватися до використання чисельних методів,є наближеними.
Для цілей управління динамічну модель представляють у вигляді передавальної функції, що зв'язує вхідні та вихідні змінні.
Лінійні та нелінійні моделі.Математично функціяL(x) – лінійна, якщо
Аналогічно і для багатьох змінних. Лінійної функції притаманне використання лише операцій алгебраїчної складання та множення змінної на постійний коефіцієнт. Якщо у виразі для оператора моделі є нелінійні операції, то модель єнелінійною, інакше модель -лінійна.
Моделі із зосередженими і розподіленими параметрами.Слід зазначити, що з урахуванням введеної термінології було б коректніше в назві моделі замість слова «параметри» вживати поняття «координату стану». Однак це назва, що склалася, яка часто зустрічається у всіх роботах з моделювання технологічних процесів.
Якщо основні змінні процесу змінюються як у часі, так і в просторі (або тільки в просторі), то моделі, що описують такі процеси, називаються моделями з розподіленими параметрами. В цьому випадку вводиться геометричний простірz=(z1,z2,z3 ) і рівняння мають вигляд:
Їх математичний опис включає зазвичай диференціальні рівняння у приватних похідних, або прості диференціальні рівняння у разі стаціонарних процесів з однією просторовою координатою.
Якщо можна знехтувати просторову нерівномірність значень координат станів об'єкта, тобто. градієнт , то відповідна модель - модель з зосередженими параметрами. Для них маса та енергія ніби зосереджені в одній точці.
Тривимірність простору не завжди є обов'язковою. Наприклад, модель змійовика з нагрівається.робочим тілом і з тонкостінною оболонкою зазвичай виходить із одномірності об'єкта – враховується лише довжина змійовика. У той же час процес передачі тепла в обмежений об'єм робочого тіла через товсту стінку може бути описаний одномірною моделлю, яка враховує лише товщину оболонки і т.п. Для конкретних об'єктів форма відповідних рівнянь потребує обґрунтувань.
Моделі безперервні та дискретні в часі.Безперервні моделі відображають безперервні процеси в системах. Моделі, що описують стан об'єктів щодо часу як безперервного аргументу –безперервні(за часом):
Дискретні моделіслужать для опису процесів, які передбачаються дискретними. Дискретна модель не може дати прогнозу поведінки об'єкта на інтервалі між дискретними відліками часу. Якщо введемо квантування у часі з кроком ∆t, то розглядається дискретна шкала , де i=0,1,2…- набуває сенсу відносного часу. І дискретна модель:
При правильному виборі кроку ∆t очікується від дискретної моделі результату з наперед заданою точністю. При зміні ∆t мають бути перераховані і коефіцієнти різницевого рівняння.
Дискретно-безперервні моделівикористовуються для випадків, коли хочуть виділити наявність дискретних, так і безперервних процесів.
Вимоги, що пред'являються математичним моделям: точність – властивість, що відбиває ступінь збігу передбачених з допомогою моделі значень параметрів об'єкта зі своїми істинними значеннями; економічність витрат машинного часу; універсальність - застосовність до аналізу групи однотипних об'єктів.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком: