Особливості обчислень у простих полях Галуа - Студопедія
Запровадження
Обчислення над кільцями та у простих полях
Алгебраїчні системи - це системи, які підпорядковуються певним правилам чи законам. Здебільшого це самі закони, які додаються до звичайним числовим системам. Так група - система в якій задані одна основна операція та операція їй зворотна, наприклад додавання та віднімання або множення та розподіл. У кільці визначено дві основні операції. Складання та множення та операція зворотна першою (віднімання). У полі визначено дві основні операції та дві зворотні операції.
Алгебраїчна група
Групою називається сукупність об'єктів чи елементів, котрим визначено деяка операція і виконуються аксіоми G1-G4. Операцію зазвичай називають додаванням або множенням, навіть якщо вона не є арифметичним додаванням або множенням
G1(замкнутість) Операція може бути застосована до будь-яких двох елементів групи, в результаті виходить третій елемент групи.
G2(асоціативний закон) Для будь-яких трьох елементів a, b, c групи (a+b)+c = a+(b+c) для додавання або (ab)c=a(bc) для множення.
G3Існує одиничний елемент. Для додавання a+0=a або для множення a'1=a
G4Кожен елемент групи має зворотний
Якщо крім аксіомG1-G4виконуються умова комутативності абоa+b=b+aто групу називаютькоммутативною абоабелевой.
Алгебраїчне кільце
КільцемRназивається безліч елементів над яким визначено дві операції. Одна називається додаванням, а друга множенням, навіть якщо ці операції не є звичайним арифметичним додаванням та множенням чисел. Для того, щоб безлічRбуло кільцем повинні виконуватися такі аксіоми:
R1Багато R є абелевою групою щодо операції складання
R2(замкнутість) Для будь-яких двох елементів a та b з множини R визначено добуток ab, який є елементом R
R3(асоціативний закон) Для будь-яких трьох елементів a, b, з безлічі R виконується a(bc)=(ab)c
R4(дистрибутивний закон) Для будь-яких трьох елементів a, b, з безлічі R виконується a(b+c)=ab+ac і (b+c)a=ba+ca.
Кільце називається комутативним, якщо комутативна операція множення, тобто якщо для будь-яких двох елементівaіbз множиниR ab=ba
Поле Галуа
Полем називається комутативне кільце з одиничним елементом щодо множення, в якому кожен не нульовий елемент має зворотний елемент по множенню.
Поля в яких визначено операцію складання та множення за модулем простого числа називаються простими полями. Для іншої кількості елементів поля існує не завжди.
Особливості обчислень у простих полях Галуа
В результаті обчислень шуканий результат знаходиться в межах 0 £db ) c, то d прирівнюється до залишку від цілого чисельного поділу результату(a b) наc
При зведенні в ступінь область значень статечної функції в полі Галуа або над кільцем може бути менше, ніж область значень аргументів статечної функції
Вилучення дискретного логарифму
Операція дискретного логарифмування визначена як зворотна операція зведенню в ступінь. Знайти означає знайти таке числоd, що при зведенніaу цей ступінь отримаємо числоb.
В результаті обчислень шуканий результат знаходиться в межах0£d
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно