Ознака Коші, ПріМат

Формулювання

Нехай дано ряд із невід'ємними доданками:

Якщо починаючи з якогось номера

n_" title="\forall n>n_" class="latex" /> виконується нерівність, то ряд сходиться. Якщо жn_" title ="\exists n_\epsilon \mathbb:\forall n>n_" class="latex" /> , то ряд розходиться.

Доведення

Нехай

n_\sqrt[n]>\leq q\Leftrightarrow a_\leq q^" title="\exists n_\epsilon \mathbb:\forall n>n_\sqrt[n]>\leq q\ Leftrightarrow a_\leq q"" class="latex" />. Так як , то ряд буде сходитися, а значить за ознакою порівняння у формі нерівностей ряд так само є схожим.

Якщо

n_\sqrt[n]>\geq 1\Leftrightarrow a_\geq 1" title="\exists n_\epsilon \mathbb:\forall n>n_\sqrt[n]>\geq 1\Leftrightarrow a_\geq 1" class="latex" />, що суперечить необхідній умові збіжності ряду ( ).

Іноді практично зручніше використовувати слідство з цієї теореми.

Слідство (ознака Коші збіжності ряду в граничній формі)

Формулювання

Нехай дано ряд із невід'ємними доданками:

Якщо існує межа:

1. Якщо , то ряд сходиться.
2. Якщо 1" title="K>1" class="latex" />, то ряд розходиться.
3. Якщо , то ознака не дозволяє сказати щось про збіжність даного ряду.

Доведення

Нехай. З визначення межі запишемо:

0 \exists N_:\forall n>N_\left \sqrt[n]>-K \right 0 \exists N_:\forall n>N_\left \sqrt[n]> -K \right. Якщо , тоі тоді за ознакою Коші у формі нерівностей ряд сходить.

Якщо ж 1" title="K>1" class="latex" />, то

1" title="q=K-varepsilon>1" class="latex" />, а значить ряд розходиться.

Данряд. Дослідити ряд на збіжність.

Скористаємося ознакою Коші у граничній формі.

---