Ознаки подільності
Ознаки ділимості являють собою деякі дії, які дозволяють з'ясувати, чи ділиться дане ціле число a на вказане ціле позитивне число b без проведення поділ a на b безпосередньо. Зрозуміло, що про ознаки ділимості неможливий без загального ставлення до делимости.
Ознаки ділимості зазвичай передбачають роботу не з самим числом a, а з числами, що складаються з цифр, що беруть участь у записі числа a.
Деякі ознаки ділимості дозволяють зробити висновок про ділимості числа a на вказане число після аналізу однієї лише останньої цифри запису числа. Такими ознаками є, наприклад, ознака ділимості на 2, ознака ділимості на 5 та ознака ділимості на 10. Наведемо приклади. Число 78 034 ділиться на 2, оскільки останньою цифрою в записі цього числа є 4, а числа, що закінчуються цифрами 0, 2, 4, 6 і 8 поділяються на 2. Число 963 не ділиться на 5 , оскільки остання цифра запису числа 963 відмінна і від 5 і від 0 . Число 30020 ділиться на 10 , так як це число закінчується цифрою 0 .
Використання інших ознак ділимості вимагає аналізу двох, трьох чи більше кількості останніх цифр у записі числа. Наприклад, ознака ділимості на 4 передбачає аналіз двозначного числа, складеного з двох останніх цифр у записі числа a; при використанні ознаки ділимості на 8 доведеться аналізувати число, утворене трьома останніми цифрами запису числа a . Наприклад, число 98789765012 ділиться на 4 , так як число 12 (воно складено з двох останніх цифр даного числа) ділиться на 4 . А число 57909038 не ділиться на 8 , так як три останні цифри даного числа дають 38 (із запису 038 зліва забирається нуль), а 38 не ділиться на 8 .
В інших випадках доводитьсяоперувати вже всіма цифрами у записі числа. Наприклад, в ознаці ділимості на 3 та ознаці ділимості на 9 потрібно обчислити суму всіх цифр у записі числа a, після чого перевіряти ділимість обчисленої суми на 3 і на 9 відповідно (при цьому, можливо, доведеться ще раз використовувати зазначені ознаки ділимості). Наведемо приклади. Число 1001103 ділиться на 3, так як сума його цифр дорівнює 1 +0 +0 +1 +1 +0 +3 = 6, а 6 кратно трьом. Число 65051991 ділиться на 9 , так як сума його цифр 6 +5 +0 +5 +1 +9 +9 +1 = 36 ділиться на 9 . І ще приклад. З'ясуємо, чи ділиться число 879901831799782998 на 3 . Сума його цифр дорівнює 114, а щоб з'ясувати, чи ділиться 114 на 3, знову застосуємо ознаку ділимості на 3. Сума цифр числа 114 дорівнює 6, а 6 ділиться на 3, отже, 114 ділиться на 3, отже, вихідне число теж ділиться на 3.
Взагалі, багато ознак ділимості переводять нас від аналізу вихідного числа a до аналізу іншого числа, (меншого, ніж a), причому отримане число аналізується з використанням цієї ознаки ділимості. Тобто, багато ознак ділимості застосовуються циклічно до отримання кінцевого результату.
Деякі ознаки ділимості поєднують у собі кілька інших ознак. Наприклад, ознака ділимості на 6 – це об'єднання ознак ділимості на 2 та на 3, а ознака ділимості на 12 – на 3 та 4 . Наприклад, число 78804 закінчується на 4 (означає, ділиться на 2), сума його цифр дорівнює 27 і 27 ділиться на 3 (означає, вихідне число ділиться на 3), отже, вихідне число ділиться на 6 . Число 208 436 316 ділиться на 12 , оскільки сума його цифр дорівнює 33 , 33 ділиться на 3 і число 16 , складене з двох останніх цифр вихідного числа, ділиться на 4 .
Слід зазначити, що деякі ознаки ділимості вимагають проведення значноїобчислювальної роботи, і іноді набагато простіше безпосередньо розділити число a на число b, що дозволить відповісти на запитання, чи дане число ділиться a на вказане число b чи ні.