Парадокс Монті Холла
Одна з ключових сфер, у яких наш розум систематично помиляється – це ймовірність їх обчислення та порівняння. Наш розум дійсно має властивість давати невірні відповіді на цілу низку питань про ймовірності. А ціла низка евристик (наприклад, евристика репрезентативності) та когнітивних спотворень (наприклад, кластерна ілюзія, ігнорування апріорної ймовірності, помилка кон'юнкції) є, по суті, саме формою некомпетентності людського розуму в оцінці ймовірностей та при здійсненні статистичного виведення.
Причому помиляються у сфері ймовірностей не лише обивателі, а й навіть фахівці, знайомі з теорією ймовірності та математичної статистики.
І, мабуть, найкращою ілюстрацією тут може бути так званий «парадокс Монті Холла».
Що це за феномен?
Питання, надіслане Мерилін, було приблизно таке:
Ось Вам завдання, яке відповідає Вашому феноменальному інтелекту.
Ви берете участь у телевікторині. Перед Вами три двері, і Вам потрібно вибрати одну з них. За одними дверима знаходиться нова червона «Феррарі», а за двома іншими дверима стоять живі козли (Ви не чуєте, як вони блять або стукають копитами).
Ви вибрали одну з дверей.
І тут ведучий робить несподіване - він відкриває одну з дверей, яку Ви не обрали. За нею виявляється цап.
І потім хитрий шоумен каже Вам:
«Мерілін! Це Ваш шанс! Ви можете змінити своє рішення і вибрати інші двері. Зараз або ніколи!"
Так ось, чи варто Вам піддатися ведучому та поміняти свій початковий вибір чи ні?
З найкращими побажаннями, щиро Ваш, Анонім»
Я думаю, буде корисно, якщо Ви, шановний читачу, теж дасте відповідь на це запитання.
Якщо Ви не знаєте, що таке парадокс МонтіХолла, не знаєтесь на теорії ймовірностей, то Ви, швидше за все, відповісте, що змінювати свій початковий вибір і вибирати інші двері не варто, оскільки це не змінює Ваших шансів на виграш. Крім того, швидше за все, вам буде неприємна сама ідея про те, щоб змінити ваше початкове рішення під впливом, наприклад, ілюзії контролю.
Але факт (і цей факт парадоксальний) полягає в тому, що якщо Ви оберете інші двері, то Ваші шанси зростуть. Тому краще свій первісний вибір змінити.
Якщо Ви відповіли неправильно – не засмучуйтесь. Коли Мерілін вос Савант відповіла правильно (варто вибрати інші двері), її буквально завалили листами, в яких дорікали їй некомпетентності, дурості, незнанні теорії ймовірностей. Причому зверніть увагу, критичні листи їй писали навіть фахівці-математики!
Так, не дарма завдання з трьома дверима називають парадоксом: справді, важко повірити, що треба поміняти своє початкове рішення та вибрати інші двері.
Але, з погляду теорії ймовірності, тут усе досить просто. Давайте поміркуємо.
Яка ймовірність того, що Ви з першого разу вибрали двері, за якими стоїть нова червона «Феррарі»?
Машина знаходиться за одним із трьох дверей. Отже, ймовірність того, що Ви вгадали, за якими саме дверима знаходиться машина, становить 1/3 – один шанс із трьох. Іншими словами, якщо Ви зіграєте в цю гру багато разів, то машина за обраними Вами дверима опиниться в одному випадку з трьох. Зверніть увагу! Ви вгадаєте не кожного третього разу, а в одному випадку з трьох. Тобто. зі ста спроб Ви вгадаєте приблизно в тридцяти трьох випадках. Причому ми не знаємо, як будуть розподілені ці випадки: можливо, вгадування та промахи чергуватимуться рівномірно, або ж ви спочаткубудете вгадувати, а потім почнеться смуга невдач, або ж, навпаки, смуга невдач зміниться чергою вгадувань.
Отже, ймовірність того, що ви вгадали, становить 1/3.
Але ймовірність того, що ви не вгадали, становить 2/3. Імовірність того, що Ви не вгадали, вище, чи не так?
Але це означає, що вища і ймовірність того, що машина знаходиться за іншими дверима, за дверима, які Ви не обрали.
Далі. Якби ведучий не виводив із гри явно невиграшні двері, Ваші шанси при зміні рішення так і залишилися б на рівні «один із трьох». Але ведучий відкриває двері з козлом, він виключає їх із Ваших подальших спроб.
Відповідно, є один шанс з трьох, що вибрані Вами двері виграшні і два шанси з трьох, що машина стоїть за іншими дверима.
Тому Вам вигідніше поміняти своє рішення, вибрати інші двері.
Звичайно, існує ймовірність, що Ви одразу вгадали. І в цьому випадку при зміні дверей Ви програєте. Але така можливість вдвічі нижча, ніж можливість того, що, змінивши двері, Ви виграєте. От і все. Це і є прикладом того, як треба застосовувати теорію ймовірностей на практиці.
Змінюйте свій вибір та виграйте!
Якщо Ви досі не вірите, то, як то кажуть, візьміть і перевірте.
Для перевірки Вам знадобиться надійна людина та три тузи: один – чорний та два – червоних. Нехай Ваш приятель зіграє роль ведучого. Нехай він тасує ці три карти так, щоб Ви не бачили. Потім розкладає їх на столі так, щоб він знав, яка з них чорний туз. А коли Ви оберете карту, нехай Ваш приятель відкриє одного з червоних тузів.
Зробіть сто проб і запишіть, скільки разів Ви виграєте, якщо змінюватимете свій початковий вибір. Потім проведіть ще сто спроб, але цього разу незмінюйте свій вибір. І знову запишіть, у яких випадках Ви виграєте.
Потім порівняйте результати.
Отже, парадокс Монті Холла – це одна з найкращих ілюстрацій, які не лише показують, що наш розум не розуміється на ймовірностях та випадковостях, але й демонструє, що йому досить складно навіть зрозуміти закони, що працюють у цій сфері.
Хочете навчитися керувати своїм неврозом самостійно?