Параметричні та канонічні рівняння прямої » Аналітична геометрія f(x)
Математика, Аналітична Геометрія
Параметричні та канонічні рівняння прямої
п.3. Параметричні та канонічні рівняння прямої.
Визначення. Будь-який ненульовий вектор, колінеарний даної прямої називається її напрямним вектором.
Нехай L - довільна пряма і - її довільна, але фіксована точка, - початок координат, - довільна (поточна) точка прямої L, - радіус вектор точки , - радіус вектор поточної точки М, - довільний напрямний вектор прямий L.
Теорема. Наступна система рівнянь є параметричними рівняннями прямої:
, , (7)
де – координати довільної фіксованої точки даної прямої, – відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої, t – параметр.
Доведення. Відповідно до визначення рівняння будь-якої множини точок координатного простору, ми повинні довести, що рівнянням (7) задовольняють всі точки прямої L і, з іншого боку, не задовольняють координати точки, що не лежить на прямій.
Нехай довільна точка. Тоді вектори і є за визначенням колінеарними і по теоремі колінеарності двох векторів слід, що з них лінійно виражається через інший, тобто. знайдеться таке число, що. З рівності векторів і випливає рівність їх координат:
, , , ч.т.д.
Назад, нехай точка . Тоді й з теоремі коллінеарності векторів жоден їх може бути лінійно виражений через інший, тобто. і хоча одна з рівностей (7) не виконується. Таким чином, рівнянням (7) задовольняють координати лише тих точок, які лежать на прямій L і тільки вони ч.т.д.
Слідство. Наступна система рівнянь є рівняннями прямої:
. (8)
Доведення. Виразивши параметр t із рівнянь (7), отримуємо:
, , , (9)
звідки й випливають рівняння (8). Зрозуміло, системи рівнянь (7) і (8) рівносильні, тобто. їх безлічі рішень збігаються і система (8), як і і система (7), є рівняннями прямої, ч.т.д.
Визначення. Рівняння (8) називаються канонічними рівняннями прямою.
Зауваження. Рівняння (8) відбивають факт колінеарності векторів. Два вектори колінеарні і тоді, коли їх координати пропорційні. При цьому, одна або дві координати напрямного вектора прямої можуть дорівнювати нулю і в канонічних рівняння прямої нулі з'являються в знаменнику. Це означає, як це випливає з рівнянь (7), що чисельник такої дробу теж дорівнює нулю, тобто. дорівнюють нулю відповідні координати колінеарних векторів.
Зауважимо також, що модуль напрямного вектора задає масштаб на прямий L, яке напрям задає на прямий L позитивний напрям.
Інакше кажучи, завдання напрямного вектора прямої визначає на цій прямій ДСК, тобто перетворює її на числову пряму з початком координат у точці , яка відповідає значенню . Числова координата довільної точки М цієї осі визначається з рівностей (9). І навпаки, будь-яке числове значення t визначає за допомогою рівнянь (7) точку на цій прямій .