Перетворення Лапласа

Для вирішення лінійних диференціальних рівнянь використовуватимемо перетворення Лапласа.

Перетворенням Лапласаназивають співвідношення

(1)

ставить функціїx(t)речовинного змінногоtу відповідність функціюX(s)комплексного змінногоs (s = σ+jω).При цьомуx(t)називаютьоригіналом, X(s)—зображеннямабозображенням за Лапласоміs—змінної перетворення Лапласа.Оригінал позначають малою, яке зображення — однойменної великої літерою.

Передбачається, що функціяx(t), що піддається перетворенню Лапласа, має такі властивості:

1) функціяx(t)визначена і шматково диференційована на інтервалі [0, ∞);

2)x(t)≡ 0 приtct при 0 ≤t с.

(2)

Умовно пряме та зворотне перетворення Лапласа записують відповідно у вигляді

деL- оператор Лапласа, aL-1 - Зворотній оператор Лапласа.Основні властивості перетворення Лапласа.

1.Властивість лінійності.Для будь-яких постійнихα і β

т. е. перетворення Лапласа від суми функцій дорівнює сумі перетворень доданків і постійні множники можна виносити за знак перетворення.

2.Диференціювання оригіналу.Якщо похідна є функцією-оригіналом, то

деX(s)=L, .

Тут записt→ +0 означає, щоtпрагне нуля, залишаючись позитивною (межа справа).

Якщоп-япохіднах(n) (t) є функцією-оригіналом, то

Тутх(k)(0) = limх(k)(t)k=0,1. n - 1.

Приx(0) =x(0) =…=x(n-1) (0) = 0 остання формула набуває вигляду

Таким чином, за нульових початкових умов диференціювання оригіналу відповідає множення зображення наs.

3.Інтегрування оригіналу.Інтегрування оригіналу зводиться до поділу зображення наs:

4.Теорема запізнення.Для будь-якого τ > Про

5.Теорема диференціювання зображення.Зображення від творуtнаx(t)дорівнює похідній від зображенняX(s), взятої з зворотним знаком:

6.Теорема про зміщення в комплексній площині.Зображення від твору на , отримуємо заміною змінноїsна зображенніX(s):

7.Теорема про пакунок (множення зображень).Якщоx1(t)іx2(t)— оригінали, a X1(s) і X2(s )- їх зображення, то

Інтеграл у правій частині називаютьзгорткою функцій x\(t)іx2(i),його позначають

8.Теореми про граничні значення.Якщох(t) — оригінал, а Х(s) — його зображення, то

і якщо існує то

У таблиці наведено зображення Лапласа для функцій, що часто використовуються

№	Оригіналx(t)	ЗображенняX(s)
1(t)
t

Приклад 1.Знайти зображення для

Зображення дорівнює

На підставі теореми 5 зображенняX(s)дорівнюватиме

Приклад 2.Знайти зображення

Виразимо через косинус подвійного кута.

Зображення

На підставі теореми 6:

Приклад 3.Знайти зображення

Зображення знайдено на прикладі 1.

На підставі теореми 6: зображення отримаємо, замінившиsнау попередньому виразі

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---