Платонові тіла
Статистика
Платонові тіла
ПЛАТОНОВИ ТІЛА [П. - Від грец. Platon (427-347 рр. До н. Е.. / Т. - пох. див. Тіло), сукупність всіх правильних багатогранників [т. е. об'ємних (тривимірних) тіл, обмежених рівними правильними багатокутниками] тривимірного Світу, вперше описаних Платоном (їм також присвячена заключна, XIII книга «Початок» Платонова учня Евкліда); // при всьому нескінченному різноманітті правильних багатокутників (двовимірних геометричних фігур, обмежених рівними сторонами, суміжні пари яких попарно утворюють рівні між собою кути), існує п'ять об'ємних П.т. (див. Табл. 6), відповідно до яких з часів Платона ставляться п'ять стихій Всесвіту; цікавий зв'язок, що існує між гексаедром і октаедром, а також між додекаедром та ікосаедром: геометричні центри граней кожного першого є вершинами кожного другого.
Людина виявляє інтерес до багатогранників протягом усієї своєї свідомої діяльності - від дворічної дитини, що грає дерев'яними кубиками, до зрілого математика. Деякі з правильних і напівправильних тіл зустрічаються у природі як кристалів, інші - як вірусів, які можна розглянути з допомогою електронного мікроскопа. Що таке багатогранник? Для відповіді на це питання нагадаємо, що власне геометрію визначають іноді як науку про простір та просторові фігури - двовимірні та тривимірні. Двовимірну фігуру можна визначити як безліч відрізків прямих, що обмежують частину площини. Така пласка фігура називається багатокутником. З цього випливає, що багатогранник можна визначити як багато багатокутників, що обмежують частину тривимірного простору. Багатокутники, що утворюють багатогранник, називають його гранями.
Здавна вчені цікавилися "ідеальними" або правильними багатокутниками, тобто багатокутниками, що мають рівні сторони та рівні кути. Найпростішим правильним багатокутником можна вважати рівносторонній трикутник, оскільки він має найменшу кількість сторін, яка може обмежити частину площини. Загальну картину правильних багатокутників, що цікавлять нас, поряд з рівностороннім трикутником складають: квадрат (чотири сторони), пентагон (п'ять сторін), гексагон (шість сторін), октагон (вісім сторін), декагон (десять сторін) і т.д. Очевидно, що теоретично немає жодних обмежень на кількість сторін правильного багатокутника, тобто число правильних багатокутників нескінченно.
Що таке правильний багатогранник? Правильним називається такий багатогранник, усі грані якого рівні (або конгруентні) між собою і при цьому є правильними багатокутниками. Скільки ж є правильних багатогранників? На перший погляд, відповідь на це питання дуже проста - стільки ж, скільки існує правильних багатокутників. Однак, це не так. У "Початках Евкліда" ми знаходимо суворий доказ того, що існує лише п'ять правильних багатогранників, а їх гранями можуть бути лише три типи правильних багатокутників: трикутники, квадрати та пентагони.
Найменування Кількість граней Стихія Тетраедр 4 Вогонь Гексаедр/Куб 6 Земля Октаедр 8 Повітря Ікосаедр 10 Вода Додекаедр 12 Ефір
Платонові тіла
Світ зірчастих багатогранників
Світ наш сповнений симетрії. З найдавніших часів із нею пов'язані наші уявлення про красу. Напевно, цим пояснюється безперервний інтерес людини до дивовижних символів симетрії, які привертали увагу багатьох видатних мислителів, від Платона і Евкліда до Ейлера і Коші.
Втім, багатогранники аж ніяк не лише об'єкт наукових досліджень. Їхні форми – завершені та химерні, широко використовуються в декоративному мистецтві.
Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх у ювелірній промисловості під час виготовлення різноманітних прикрас. Застосовуються вони у архітектурі. Багато форм зірчастих багатогранників нагадує сама природа. Сніжинки – це зірчасті багатогранники. З давніх-давен люди намагалися описати всі можливі типи сніжинок, становили спеціальні атласи. Зараз відомо кілька тисяч різних типів сніжинок.
Зоряний додекаедр
Великий зірчастий додекаедр належить до сімейства тіл Кеплера-Пуансо, тобто правильних багатогранників. Грані великого зірчастого додекаедра – пентаграми, як і в малого зірчастого додекаедра. У кожної вершини поєднуються три грані. Вершини великого зірчастого додекаедра збігаються з вершинами описаного додекаедра.
Великий зірчастий додекаедр був вперше описаний Кеплером у 1619 р. Це остання зірчаста форма правильного додекаедру.
Платонові тіла
Додекаедр
Стародавні мудреці казали: "Щоб пізнати невидиме, дивися уважно на видиме". У плані сакральних сил додекаедр найпотужніший багатогранник. Не дарма Сальвадор Далі для своєї "Таємної вечора" вибрав цю фігуру. У ній від дванадцяти п'ятикутників - теж сильної фігури, сили концентруються в одній точці - на Ісусі Христі.
Додекаедр (від грецького dodeka – дванадцять і hedra – грань) це правильний багатогранник, складений із дванадцяти рівносторонніх п'ятикутників.
Додекаедр має 20 вершин та 30 ребер. Вершина додекаедра є вершиною трьох п'ятикутників, таким чином, сума плоских кутівпри кожній вершині дорівнює 324°. Сума довжин всіх ребер 30а. Додекаедр має центр симетрії та 15 осей симетрії.
Кожна осі проходить через середини протилежних паралельних ребер. Додекаедр має 15 площин симетрії. Будь-яка з площин симетрії проходить у кожній грані через вершину та середину протилежного ребра.
Правильні багатогранники приваблюють досконалістю своїх форм, повною симетричністю. Деякі з правильних і напівправильних тіл зустрічаються у природі як кристалів, інші — як вірусів, найпростіших мікроорганізмів. Кристали - тіла, що мають багатогранну форму. Ось один із прикладів таких тіл: кристал піриту (сірчистий колчедан FeS) – природна модель додекаедра. Вірус поліомієліту має форму додекаедра. Він може жити і розмножуватися лише у клітинах людини та приматів. Це зокрема означає, що заразитися поліомієлітом можна тільки від людей. Крім того, багато вірусів передаються через переносників, роль яких нерідко виконують членистоногі (наприклад, кліщі). Такі віруси можуть мати широкий спектр господарів, що включає як хребетних, так і безхребетних тварин. Ворість вольвокс — один із найпростіших багатоклітинних організмів — є сферичною оболонкою, складеною в основному семикутними, шестикутними і п'ятикутними клітинами (тобто клітинами, що мають сім, шість або п'ять сусідніх; у кожній «вершині» сходяться три клітини). Бувають екземпляри, у яких є і чотирикутні, і восьмикутні клітини, але біологи помітили, що якщо таких «нестандартних» клітин (менш ніж з п'ятьма і більше, ніж із сімома) сторонами немає, то п'ятикутних клітин завжди рівно на дванадцять більше, ніж семикутних (всього клітин може бути кілька сотень і навіть тисяч). Це твердження випливає з відомоїформули Ейлера. Фулерени - одна з форм вуглецю. Вони були відкриті при спробі моделювати процеси, що відбуваються у космосі. Пізніше вченим у земних лабораторіях вдалося синтезувати та дослідити численні похідні цих кулястих молекул. Виникла хімія фулеренів. Деякі сполуки включення в кристалічну решітку фулерену С60 виявилися «гарячими надпровідниками» з критичною температурою до 117 К. Ведуться спроби створити на основі фулеренів матеріали для молекулярної електроніки, що зароджується. Все це цікаво та важливо. Але фулерени, як з'ясувалося, є і в земних породах. Зараз із наявністю в шунгітах фулеренів деякі ентузіасти пов'язують цілющу дію відкритих у 1714 р. марціальних вод, якими лікувався Петро Великий. А останні відкриття геохіміків змушують повернутися до проблеми походження фулеренів. Можливо, що нові хімічні дослідження земних фулеренів відкриють інші сторінки багатої історії планети Земля! В алхімії зазвичай йдеться лише про ці елементи: вогонь, земля, повітря та вода; рідко згадується ефір тому, що це настільки священно. У Піфагорійській школі, варто було б вам тільки згадати за стінами школи слово «додекаедр», як вас убили б на місці. Такою священною вважалася ця постать. Про неї навіть не говорили. Через двісті років, за життя Платона, про неї говорили, але дуже обережно. Чому? Тому що додекаедр розташований біля зовнішнього краю вашого енергетичного поля і є найвищою формою свідомості. Коли ви досягаєте 55-футової межі свого енергетичного поля, воно матиме форму сфери. Але найближча до сфери внутрішня фігура – це додекаедр (насправді, додекаедро-ікосаедральний взаємозв'язок). На додаток до цього ми живемо всередині великого додекаедра, якиймістить у собі всесвіт. Коли ваш розум сягає межі простору космосу – а межа тут є – він натикається на додекаэдр, замкнутий у сфері. Додекаедр є завершальною фігурою геометрії і дуже важлива. На мікроскопічному рівні, додекаедр та ікосаедр є відносними параметрами ДНК, за якими побудовано все життя. Можна побачити також, що молекула ДНК є куб, що обертається. При повороті куба послідовно на 72 градуси за певною моделлю, виходить ікосаедр, який, у свою чергу, становить пару додекаедр. Таким чином, подвійна нитка спіралі ДНК побудована за принципом двосторонньої відповідності: за ікосаедром слідує додекаедр, потім знову ікосаедр, і так далі. Це обертання через куб створює молекулу ДНК. В основі структури ДНК лежить священна геометрія, хоча можуть виявитися ще й інші приховані взаємозв'язки. .